Cum să simplificați un radical

Un radical este o expresie algebrică care include în el simbolul rădăcinii (pătrat, cub sau superior). Adesea, aceste expresii descriu același număr chiar dacă apar într-o formă extrem de diferită (de exemplu, expresia

conținut

Paşi
Metoda 1
Metoda 2
Metoda 3
Metoda 4
Metoda 5
Metoda 6
Sfaturi

12-1{ displaystyle { frac {1} {{ sqrt {2}} - 1}}} este egal cu

{ displaystyle { sqrt {2}} + 1}

). Abordarea corectă, atunci când se lucrează cu radicalii (sau cu expresii matematice care le conțin) constă în încercarea de a le defini sau de a le aduce înapoi la "forma canonică". Dacă, după simplificarea a două expresii algebrice în forma lor canonică, ele continuă să pară diferite, înseamnă pur și simplu că ele sunt într-adevăr diferite. Matematicienii toți sunt de acord că forma canonică în care ar trebui descrise radicalii și expresiile algebrice care le conțin trebuie să respecte aceste reguli:

În interiorul simbolului rădăcinii nu ar trebui să existe fracțiuni;
Exponenții fracționali nu ar trebui utilizați;
Radicalii nu ar trebui să fie prezenți în numitorul unei fracții;
Nu trebuie să multiplicăm un radical pentru alt radical;
Nici o altă rădăcină nu ar trebui să fie prezentă într-o rădăcină.

Acest ghid simplu poate fi util atunci când trebuie să faceți față testelor care oferă întrebări cu răspunsuri multiple. După ce ați identificat soluția la problema propusă, dacă aceasta nu coincide cu nici una dintre cele furnizate de textul problemei, încercați să o rescrieți într-o formă canonică. Deoarece experții care creează testele de examen raportează în mod normal soluțiile la problemele propuse în formă canonică, făcând același lucru, veți observa că dacă răspunsul dvs. este corect, va apărea identic cu cel propus. În testele de răspuns liber, expresii cum ar fi "simplificați soluția" sau "este necesar să simplificăm toți radicalii" ele înseamnă că etapele descrise în acest ghid sunt necesare pentru a scrie soluțiile calculate în forma canonică prezentată mai sus. Forma canonică poate fi utilizată și atunci când se lucrează cu ecuații, dar în acest caz poate fi mai ușor să se utilizeze o formă non-canonică.

paşi

Dacă este necesar, revizuiți regulile matematice privind gestionarea radicalilor și a radicalilor puteri (acesta este același argument, deoarece radicalii sunt de fapt puteri fracționate), având în vedere că este un subiect fundamental pentru a înțelege pe deplin conținutul acestui articol. Ea analizează, de asemenea, principiile privind gestionarea și simplificarea polinomilor și a polinomilor expresii raționale, deoarece ele sunt fundamentale în matematică pentru a efectua simplificări.

Metoda 1

Puteri perfecte

Simplificați orice expresie radicală care reprezintă un pătrat perfect. Cu termenul "pătrat perfect" se face referire la produsul oricăror număr pentru el însuși: de exemplu, 81 este produsul de 9 x 9. În acest caz simplificarea este foarte simplă, deoarece este suficient să se elimine simbolul rădăcinii și să se raporteze numărul reprezentând rădăcina pătrată din pătratul perfect examinat.

De exemplu, 121 este un pătrat perfect deoarece este produsul de 11 x 11. Puteți înlocui apoi expresia ${ displaystyle { sqrt {121}}}$ cu numărul 11.
Pentru a simplifica și mai mult învățarea acestui proces, este necesar pentru a stoca seria primelor douăsprezece pătrate perfecte: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25 , 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.

Simplificați orice radical care reprezintă un cub perfect. Un cub perfect reprezintă produsul oricărui număr înmulțit de două ori singur. De exemplu, 27 este rezultatul a 3 x 3 x 3. Pentru a simplifica un radical care reprezintă un cub perfect, ștergeți pur și simplu semnul rădăcină și raportați numărul care reprezintă rădăcina cubică a cubului perfect.

De exemplu, numărul 343 este un cub perfect deoarece vine de la produsul de 7 x 7 x 7. Deci, rădăcina cubică a lui 343 este pur și simplu 7.

Metoda 2

Conversia unei puteri cu exponent rațional într-un radical

Dacă preferați, puteți efectua conversia inversă, adică un viraj radical la putere (uneori există motive bune pentru a efectua o operațiune de acest tip) - cel mai important lucru nu este de a folosi puterile cu exponenți și radicali fracționare, cum ar exemplu ${ displaystyle { sqrt {5}} + 5 ^ { frac {3} {2}}}$ , într-o singură expresie. Acest articol presupune că decideți să utilizați notația rădăcină și apoi utilizați expresia ${ displaystyle { sqrt {n}}}$ pentru a indica rădăcina pătrată din ${ displaystyle n}$ și ${ displaystyle { sqrt [{3}] {n}}}$ pentru a indica rădăcina cubică a ${ displaystyle n}$ .

Localizați toți exponenții fracționali și transformați-i în forma radicală respectivă utilizând următoarea identitate ${ displaystyle x ^ { frac {a} {b}} = { sqrt [{b}] {x}} ^ {a}}$ .

Dacă aveți o rădăcină cu un index fracționat, încercați să simplificați și acest tip de termeni. De exemplu, ${ displaystyle { sqrt [{ frac {2} {3}}] {4}}}$ poate fi scris ca ${ displaystyle ({ sqrt {4}}} ^ {3}}$ care este ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ , care este egal cu 8.

Transformați puterile cu exponenți negativi în forma lor echivalentă fracționată folosind următoarea regulă ${ displaystyle x ^ {- y} = { frac {1} {x ^ {y}}}}$ .

Acest principiu se aplică numai constantelor și exponenților raționali. Dacă aveți un termen cum ar fi

{ displaystyle 2 ^ {x}}

, lăsați-o în forma sa originală, chiar dacă contextul problemei indică acest lucru

{ displaystyle x}

ar putea fi un exponent fracțional sau negativ.

Combinați termeni similari între ei pentru a simplifica apoi orice radical care rezultă din această operațiune.

Metoda 3

Eliminați fracțiunile din radicalii

Forma canonică a radicalilor necesită exprimarea rădăcinii unei fracții ca o fracțiune de rădăcini de întregi.

Examinați înrădăcinarea oricărui radical pe care lucrați pentru a identifica cele care conțin fracțiuni.

Dacă prezintă fracțiuni, înlocuiți-le cu fracțiunea compusă din doi radicali distinctiv folosind următoarea identitate:

{ sqrac { sqrac { frac {a} {b}}} = { sqrac {a}} { sqrt {b}

Nu efectuați această substituire dacă numitorul fracțiunii este negativ sau dacă este o expresie variabilă a cărei valoare ar putea fi negativă. În acest caz, începe prin simplificarea fracțiunii.

Continuați simplificând toate pătratele perfecte care rezultă din pasul anterior. De exemplu, expresia

{ displaystyle { sqrt { frac {5} {4}}}}

acesta poate fi rescris ca

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} { sqrt {4}}}}

, care pot fi simplificate

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} {2}}}

Face orice altă simplificare utilă pentru a ajunge la soluția finală a problemei, de exemplu reduce fracțiunile complexe, combinați termeni similari etc.

Metoda 4

Efectuați multiplicări între radicalii

Dacă trebuie să vă confruntați cu o expresie matematică în care există un produs printre radicali, combinați-le pentru a obține un singur radical folosind această proprietate:

{ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a ori b}}}

. De exemplu, rescrieți următoarea expresie matematică

{ displaystyle { sqrt {2}} ori { sqrt {6}}}

în formă

{ displaystyle { sqrt {12}}}

Egalitatea descrisă în pasajul anterior, ${ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a ori b}}}$ , este valabil numai în cazul radicandilor pozitivi. Nu se poate aplica dacă ${ displaystyle a}$ și ${ displaystyle b}$ ele sunt negative, deoarece ar presupune în mod greșit că următoarea egalitate este adevărată: ${ displaystyle { sqrt {-1}} times { sqrt {-1}} = { sqrt {1}}}$ . Membrul stâng al ecuației, prin definiție, este egală cu -1 (în cazul în care nu știu sau refuză existența unor numere complexe, această valoare este nedefinită), în timp ce membrul drept este egal cu 1. Dacă unul dintre radicandi ${ displaystyle a}$ sau ${ displaystyle b}$ este negativă sau dacă ambele sunt, în primul rând, este necesar să se modifice semnul utilizând următoarea regulă: ${ displaystyle { sqrt {-5}} = i ori { sqrt {5}}}$ . Dacă radicandul este o expresie variabilă, al cărui semn nu poate fi dedus din contextul problemei (și prin urmare poate fi atât pozitiv, cât și negativ), pentru moment, nu efectuați nici o operație. În acest caz, puteți utiliza următoarea identitate generală ${ Displaystyle { sqrt {a}} ori { sqrt {b}} = { sqrt { pm {a}}} ori { sqrt { pm {b}}} ori { sqrt} }$ , care este valabil pentru setul tuturor numerelor reale asumate de ${ displaystyle a}$ și ${ displaystyle b}$ , dar care, în mod normal, nu introduce complexitatea de a gestiona semnul radicandilor.
Această identitate poate fi aplicată numai dacă radicalii implicați au același indice. În general, este posibil să se înmulțească radicali de orice tip, cum ar fi de exemplu ${ displaystyle { sqrt {5}} times { sqrt [{3}] {7}}}$ , dar trebuie să le rescrieți mai întâi pentru ca toți să aibă același index. Pentru a face acest lucru, puteți transforma rădăcinile în puteri cu exponenți fracționari. În exemplul nostru vom obține ${ Displaystyle { sqrt {5}} ori { sqrt [{3}] {7}} = 5 ^ { frac {1} {2}} ori 7 ^ { frac {1} {3} } = 5 ^ { frac {3} {6}} ori 7 ^ { frac {2} {6}} = 125 ^ { frac {1} {6}} ori 49 ^ { frac {1 {6}}}}$ . În acest moment, puteți aplica proprietățile de multiplicare pentru a obține un rezultat final ${ displaystyle { sqrt [{6}] {6125}}}$ .

Metoda 5

Extragerea factorilor rădăcini de la un radical

Împărțiți un radical imperfect în principalii săi factori. Factorii reprezintă numere care, dacă sunt multiplicate, dau numărul inițial ca rezultat. De exemplu, 5:04 numere sunt doi factori de numărul 20. Pentru o ruptură radicală în factorii lui imperfecte, începe prin enumerarea tuturor divizorii de înrădăcinare (în cazul unui număr foarte mare, să ia act de toți cei care pot pentru a identifica) până când identificați un factor care reprezintă un pătrat perfect.

De exemplu, încercați să lista toți factorii de numărul 45: 1, 3, 5, 9, 15 și, evident, 45. Vei observa că numărul 9, în afară de a fi un factor de 45, este de asemenea un pătrat perfect, deoarece ${ displaystyle 9 = 3 ^ {2}}$ și ${ displaystyle 9 ori 5 = 45}$ .

Extrageți din semnul rădăcinilor orice factor care reprezintă un pătrat perfect. Numărul 9 este un pătrat perfect pentru că 9 este rezultatul

{ displaystyle 3 times 3}

. Ea poartă numărul 9 din semnul rădăcină transformându-l în trei și lăsând în numărul 5. Dacă trebuie să raporteze numărul 3 din interiorul rădăcină, va trebui să ridica la pătrat pentru ao transforma înapoi în numărul 9 (în cazul o rădăcină cu indexul 2). În acest moment, îl puteți înmulți cu 5 pentru a obține înrădăcinarea originală, adică 45. Expresia

{ displaystyle 3 { sqrt {5}}}

este o modalitate mai simplă de a exprima radicalul

{ displaystyle { sqrt {45}}}

Procesul complet este următorul

{ sqst {5}} = 3 { sqrt {5}}} { sqst {45}} = { sqrt {

Căutați un pătrat perfect într-o variabilă. Rădăcina pătrată din

{ displaystyle a ^ {2}}

ar trebui să fie egală cu valoarea sa absolută, adică

displaystyle

. Puteti să o simplificați în continuare pur și simplu arată

{ displaystyle a}

, numai dacă știți că această variabilă are un semn pozitiv. expresia

{ displaystyle { sqrt {a ^ {3}}}}

poate fi descompus în

{ displaystyle { sqrt {a}} ori a}

. Acest lucru este posibil deoarece, atunci când produsul este executat între variabile egale, se adaugă exponentul

{ displaystyle a ^ {2} ori a}

este egal cu

{ displaystyle a ^ {3}}

Din aceasta deducem asta în interiorul

{ displaystyle a ^ {3}}

pătratul perfect este prezent

{ displaystyle a ^ {2}}

Extrageți din semnul rădăcinii toate variabilele care reprezintă un pătrat perfect. În acest moment, este posibil să se ia variabila din rădăcină

{ displaystyle a ^ {2}}

transformându-l în | A |. Forma simplificată

{ displaystyle a ^ {3}}

este

{ displaystyle | a | { sqrt {a}}}

Combină toți aceiași termeni și simplifică, acolo unde este posibil, toți radicalii care rezultă din această operație.

Metoda 6

Raționalizarea numitorului

Forma canonică a radicalilor cere ca, acolo unde este posibil, numitorul expresia trebuie să fie un întreg (sau un polinom, dacă se dovedește a fi o valoare nedeterminată).

Dacă numitorul expresiei în cauză este compus dintr-un singur termen sub rădăcină, cum ar fi ${ displaystyle { frac {[numerator]} { sqrt {5}}}}$ , este posibil să se înmulțească atât numerotatorul cât și numitorul pentru obținerea radicalului în curs de examinare ${ sqst {5}}} { sqrt {[numerar] times { sqrt {5}}}$ = ${ displaystyle { frac {[numerator] times { sqrt {5}}} {5}}}$ .
În cazul rădăcinilor cubice sau al indexului superior, pentru a raționaliza corect numitorul, este necesar să le multiplicăm de la rădăcină cu indicele corect. Dacă expresia este prezentă în numitor ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}}}$ , va fi necesar să se înmulțească atât numerotatorul, cât și numitorul fracțiunii pentru ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}} ^ {2}}$ .
Dacă numitorul este alcătuit din suma sau diferența dintre rădăcinile pătrate, de exemplu ${ displaystyle { sqrt {2}} + { sqrt {6}}}$ , va trebui să procedați prin înmulțirea numărătorului și a numitorului pentru complexul conjugat, care este aceeași expresie, dar care utilizează operatorul opus. Atunci ai venit ${ sqrac {[numerator]} {{sqrt {2}} + { sqrt {6}}}} = { sqrt {6}}}} {{sqrt {2}} + { sqrt {6}}) times {{sqrt {}}$ . În acest moment, pentru a raționaliza numitorul acestei expresii, se poate recurge la identitatea cu privire la diferența dintre rădăcinile pătrate ${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$ obținerea ${ sqst {2}}) { sqrt {2}}} { sqrt {6} {2} - {{sqrt {6}}} ^ {2} = 2-6 = -4}$ .
Această abordare este funcțională în cazul numitorilor de genul ${ displaystyle 5 + { sqrt {3}}}$ de asemenea, deoarece fiecare număr întreg poate fi văzut ca rădăcina pătrată a altui întreg. Iată un exemplu practic: ${ frac {1} {5 + { sqrt {3}}}} { frac {5 - { sqrt {3}}} { Sqrac {3} {3}}} {} {} {} frac {5 - { sqrt {3}}} {25-3}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {22}}}$
Această metodă funcționează și în cazul unei sume de rădăcini pătrate, cum ar fi ${ displaystyle { sqrt {5}} - { sqrt {6}} + { sqrt {7}}}$ . Dacă radicalii sunt grupați în felul următor ${ displaystyle {{sqrt {5}} - { sqrt {6}}) + { sqrt {7}}}$ iar expresia obținută se înmulțește ${ displaystyle {{sqrt {5}} - { sqrt {6}}) - { sqrt {7}}}$ , soluția finală nu reprezintă un număr rațional, ci va fi în concordanță cu forma ${ displaystyle a + b ori { sqrt {30}}}$ , unde este ${ displaystyle a}$ ambii ${ displaystyle b}$ ele sunt valori raționale. În acest moment puteți repeta procesul folosind complexul conjugat din ${ displaystyle a + b ori { sqrt {30}}}$ , unde ${ displaystyle (a + b ori { sqrt {30}}} ori (a-b ori { sqrt {30}}}}$ este un număr rațional. Cu alte cuvinte, dacă puteți folosi această etapă pentru a reduce pentru prima oară numărul de radicali prezenți în numitorul unei fracțiuni, puteți să-l reutilizați în mod repetat pentru a le simplifica total.
Această metodă funcționează și în cazul numitorilor compuși din rădăcini cu un indice mai mare de 2, cum ar fi de exemplu ${ displaystyle { sqrt [{4}] {3}} + { sqrt [{7}] {9}}}$ . În acest caz este pur și simplu necesar să se înmulțească atât numerotatorul cât și numitorul pentru conjugatul complex al acestuia din urmă. Din nefericire, nu este clar de înțeles ce este și cum se obține conjugatul complex al unei expresii complexe, cum ar fi cea luată ca un exemplu. Un manual bun referitor la teoria numerelor se ocupă de subiect în detaliu și mai complet, un aspect care nu este în sfera de aplicare a acestui articol.

Acum, numitorul fracțiunii a fost raționalizat, dar, evident, problema a fost mutată la numărător. În acest moment, este necesar să se administreze elementul cu care a început raționalizarea procesului numitorului, și anume complexul său conjugat, care se află în numărătorul fracției în cauză. Dezvoltați produsul la fel cum ați face cu un produs între polinoame. Continuați să identificați și să eliminați sau să simplificați orice termen obținut și, dacă este posibil, să combinați aceleași termeni.

Dacă numitorul fracțiunii este un număr întreg negativ, înmulțiți numitorul și numitorul cu coeficientul -1 pentru al transforma într-un număr pozitiv.

Sfaturi

Există site-uri web, identificate printr-o căutare simplă online, care poate simplifica automat expresiile care conțin radicali. Pur și simplu tastați ecuația sau expresia din interiorul simbolului rădăcină în câmpul de text corespunzător - după apăsarea tastei Enter vi se va oferi soluția la problema dvs.
În cazul întrebărilor simple, mulți dintre pașii descriși în acest articol nu pot fi aplicați. Dimpotrivă, în cazul unor probleme foarte complexe, anumite măsuri trebuie să fie aplicate de mai multe ori. Pe măsură ce lucrați, încercați să faceți mereu simplificări "simplu"prin urmare, odată ajunsă la soluția finală a problemei, comparați-o cu criteriile relative la forma canonică a radicalilor raportate în introducerea articolului. Dacă răspunsul dvs. reflectă forma canonică, atunci lucrarea se face. În caz contrar, una dintre secțiunile articolului va fi cu siguranță capabilă să vă arate cum și unde să faceți simplificări pentru a-ți termina sarcina.
Cele mai multe probleme matematice care necesită utilizarea preferențială a "forma canonică" referitoare la expresii care conțin radicali pot include, de asemenea, numere complexe ( ${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$ ). Chiar dacă numerele complexe utilizează elementul "" în loc să aducă înapoi simbolul rădăcină, este bine să evităm să le apară în interiorul numitorului unei fracțiuni.
O parte din instrucțiunile din acest articol se referă exclusiv la rădăcinile pătrate. Regulile generale sunt aceleași cu cele utilizate pentru rădăcinile cubice sau mai mari, deși unele dintre ele (în special raționalizarea numitorului) ar putea fi foarte dificil de aplicat. Veți avea nevoie de asemenea să decideți dacă doriți să aveți expresii cum ar fi ${ displaystyle { sqrt [{3}] {4}}}$ sau ${ displaystyle { sqrt [{3}] {2 ^ {2}}}}$ .
Terminologia este prezentată în unele părți ale acestui articol "forma canonică" incorect, deoarece în realitate ne referim la "forma normală" a radicalilor. Diferența constă în faptul că forma canonică trebuie să aducă expresia înapoi ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ sau ${ displaystyle { sqrt {2}} + 1}$ și să îl etichetați pe celălalt drept inadecvat. Forma normală implică faptul că cititorul este suficient de pregătit și de strălucit pentru a putea recunoaște de la sine faptul că aceste expresii reprezintă de fapt "simplu" numere, chiar dacă acestea sunt scrise diferit. Cu formularea "simplu" numim numere la care pot fi aplicate numai regulile aritmetice (de exemplu, proprietatea comutativă a adăugărilor) și nu cele algebrice (de exemplu, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ este soluția pozitivă a ecuației ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ ). Sperăm că cititorii vor ierta acest ușor abuz de terminologie.
Dacă instrucțiunile conținute în acest ghid par a fi ambigue sau chiar contradictorii cu forma în care manualele dvs. descriu radicalii, continuați să aplicați toți pașii coerenți și clari și apoi alegeți rezultatul mai potrivit cu textul de studiu pe care îl utilizați.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit