Cum să simplificați expresiile

În majoritatea cazurilor, studenții de matematică sunt rugați să exprime soluția unei probleme în "termeni minime"- cu alte cuvinte, să scriem răspunsul în cel mai elegant mod posibil. Deși o expresie îndelungată și neînțeleasă este complet echivalentă cu cea scurtă și frumoasă de văzut, problema nu este luată în considerare "rezolvat" până când soluția este exprimată în termeni minime. În plus, răspunsurile în termeni minimi sunt de asemenea expresii simple din "manipula". Pentru toate aceste motive, este esențial pentru a afla cum de a simplifica expresii, daca aspira la o cariera ca un matematician.

conținut

Paşi
Metoda 1
Metoda 2

paşi

Metoda 1

Ordin de comandă al operațiunilor

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 1

Aflați ordinea operațiilor. Când simplificați expresiile, nu puteți pur și simplu să continuați de la stânga la dreapta, înmulțind, adăugând și scăzând numere în momentul în care apar. Unele operații matematice au prioritate față de celelalte și trebuie efectuate mai întâi. Dacă nu respectați acest criteriu, soluția pe care o primiți va fi incorectă. Ordinea operațiilor este: termenii din paranteze, puteri, multiplicări, diviziuni, sume și, în final, scăderi. Amintiți-vă acronimul "PEMDAS" care vă ajută să memorați ordinea exactă.

Rețineți că, deși cunoștințele de bază ale acestui criteriu sunt utile pentru rezolvarea expresiilor elementare, vor fi necesare tehnici mai avansate pentru a minimiza cele mai complexe, inclusiv polinoame. Citiți următoarea metodă pentru acest tip de expresie.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 2

Începeți prin rezolvarea operațiunilor în paranteze. În matematică, parantezele indică termeni care trebuie considerați separat de restul expresiei. Indiferent de ceea ce trebuie să faceți în cadrul acestora, știți că acestea au prioritate în timpul procedurilor de simplificare. Rețineți că în fiecare pereche de paranteze trebuie să respectați în continuare ordinea operațiilor și trebuie să multiplicați întotdeauna înainte de a scădea și așa mai departe.

De exemplu, să presupunem că trebuie să simplificăm expresia: 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). În această expresie trebuie mai întâi să rezolvăm operațiile în paranteze: 5 + 2 și 3 + 4/2. 5 + 2 = 7. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.

Termenii din a doua paranteză sunt simplificați la 5 deoarece, în ordinea operațiilor, diviziunea 4/2 este rezolvată mai întâi. Dacă ar fi urmat pur și simplu succesiunea de numere pe măsură ce se prezintă de la stânga la dreapta, am fi adăugat mai întâi de la 3 la 4 și apoi vom împărți rezultatul cu 2 pentru a obține 7/2, o soluție greșită.

Notă: dacă există mai multe paranteze unul în celălalt, mai întâi rezolvați cele mai interioare și continuați spre exterior.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 3

Rezolvați puterile. După ce se ocupă de paranteze, trece la puteri. Ele nu sunt greu de identificat, deoarece baza și exponentul sunt scrise aproape unul de celălalt, al doilea fiind plasat în colțul din dreapta sus al primului. Rezolvați toată puterea și scrieți rezultatul înlocuindu-l în expresie.

După rezolvarea operațiilor în paranteze, expresia noastră din exemplul anterior arată astfel: 2x + 4 (7) + 3² - 5. Singura putere prezentă este 3² care este echivalentă cu 9. Înlocuim această valoare în cadrul puterii și obținem: 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 4

Rezolvați multiplicările. În acest moment trebuie să vă confruntați cu multiplicarea. Amintiți-vă că această operațiune poate fi scrisă în mai multe moduri. Uneori folosim simbolul "x", un punct sau un asterisc pentru a înțelege multiplicarea. Cu toate acestea, chiar un număr aproape de o pereche de paranteze sau o variabilă (cum ar fi 4 (x)) denotă o multiplicare.

În problema noastră există două multiplicări: 2x (2x înseamnă 2 ori x) și 4 (7). Nu știm valoarea lui x, deci 2x este transcris ca atare, în timp ce 4 (7) = 4 x 7 = 28. Ne putem rescrie expresia ca: 2x + 28 + 9 - 5.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 5

Treceți la diviziuni. La fel ca și multiplicarea, diviziile pot fi de asemenea scrise cu multe simboluri diferite. Simbolul ":" este un exemplu, dar amintiți-vă că și bara diagonală (/) și fracțiunea (ca 3/4 de exemplu) sunt sinonime cu împărțirea.

Deoarece am rezolvat deja diviziunea (4/2) care a fost închisă în paranteze, expresia noastră nu prezintă alte diviziuni și, prin urmare, putem trece peste acest pasaj. Acest lucru ne face să subliniem un aspect fundamental: atunci când simplificați expresiile, nu se spune că ar trebui să efectuați toate operațiile PEMDAS-ului, ci doar cele care sunt prezente în această problemă.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 6

Rezolvați sumele. În acest moment, puteți să vă confruntați cu toate operațiile sumare prezente în expresie, dar mai întâi, este recomandabil să reordonați addend-urile, astfel încât acestea să fie ușor de gestionat. De exemplu, expresia 49 + 29 + 51 +71 este mai ușor de rezolvat dacă este văzută ca 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 și deci 100 + 100 = 200, + 51 = 129 și 129 + 71 = 200.

Expresia exemplului nostru este parțial simplificată și avem: "2x + 28 + 9 - 5". Acum trebuie să mergem la adăugiri și să analizăm problema de la stânga la dreapta. Nu putem adăuga două și una la alta pentru că nu știm valoarea lui x, așa că hai să mergem mai departe. 28 + 9 = 37, apoi transcriem rezultatul în expresie: "2x + 37 - 5".

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 7

Efectuați scăderea. Acesta este ultimul pas din ordinul PEMDAS. Analizați-vă problema și rezolvați toate subtitrările pe care le întâlniți. În această fază puteți întâlni numere negative și, ca și în trecerea unui plus normal, acestea nu vor afecta răspunsul final.

Întotdeauna luăm în considerare exemplul nostru: "2x + 37 - 5", unde există doar o singură scădere de rezolvat: 37 - 5 = 32

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 8

Verificați expresia. După ce au trecut toate etapele prevăzute de ordinea operațiunilor, expresia ar trebui rezolvată în termenii minimi. Cu toate acestea, dacă problema conține una sau mai multe variabile, știți că acestea, în majoritatea cazurilor, nu vor fi modificate. Simplificarea expresiilor cu variabile necesită abilitatea de a găsi valoarea acestora sau de a folosi tehnici specifice (discutate în secțiunea următoare).

Soluția noastră finală pentru exprimare este "2x + 32". Nu vom putea simplifica în continuare rezultatul până nu știm valoarea lui x și, în acest caz, ar fi un calcul mult mai simplu decât cel propus de expresia inițială lungă.

Metoda 2

Expresii complexe

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 9

Adăugați variabile similare între ele. Când trebuie să vă ocupați de expresii cu variabile, este important ca termenii care au aceeași variabilă și exponent (de ex "asemănător") pot fi adăugate și scăzute unele de altele ca numere normale. Acești termeni must având nu numai aceeași variabilă, dar și același exponent. De exemplu, 7x și 5x pot fi adăugate unele la altele, dar 7x și 5x² nr.

Această regulă se extinde și la acele monomiale cu mai multe variabile. De exemplu, 2xy² acesta poate fi adăugat la -3xy² dar nu la -3x²y sau -3y².
Observăm expresia: x² + 3x + 6 - 8x. Putem adăuga 3x și -8x pentru că sunt similare unul cu altul. În acest caz, problema devine x² - 5x + 6.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 10

Simplificați numerele fracționate prin împărțirea factorilor. Fracțiunile dintre numere (fără variabile) pot fi simplificate în mai multe moduri. Primul, și poate cel mai simplu, constă în rezolvarea diviziunii implicite în fracțiunea în sine. În plus, fiecare factor care apare atât în numitor cât și în numărător poate fi "eliminat" deoarece raportul este egal cu unul. Cu alte cuvinte, dacă numitorul și numitorul au un factor comun, acest lucru poate fi eliminat pentru a simplifica rezultatul.

De exemplu, să luăm în considerare fracțiunea de 36/60. Dacă am avea un calculator, am putea trece la diviziunea simplă și să obținem rezultatul 0.6. Cu toate acestea, facem calculele manual și simplificăm factorii comuni. De fapt, putem regândi fracțiunea 36/60 ca (6 × 6) / (6 × 10). Aceasta ne permite să o rescriim ca: 6/6 × 6/10. Având în vedere că 6/6 = 1, expresia poate fi simplificată la 6 / 10.Acest lucru nu este suficient pentru că ambele 6 și 10 au factorul 2. Dacă repetăm procedura primită mai întâi 3/5.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 11

Într-o fracțiune cu variabile putem șterge variabilele comune. De fapt, expresiile variabile care sunt exprimate ca o fracțiune au doar o singură oportunitate de simplificare. La fel ca numerele fracționare normale, puteți elimina factorii comuni între numitor și numărător, cu singura diferență că acești factori pot fi cifre și a scrisorilor.

Să examinăm expresia (3x² + 3x) / (- 3x² + 15x) Această fracțiune poate fi rescrisă ca (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x) - 3x apare atât în numărător, cât și în numitor și poate fi ștearsă. Aceasta duce la o formă simplificată egală cu (x + 1) / (5-x). De asemenea, în problema (2x² + 4x + 6) / 2, deoarece toți termenii sunt divizibili cu 2, îl putem rescrie ca (2 (x² + 2x + 3)) / 2, care pot fi simplificate în continuare x² + 2x + 3.

Rețineți că nu puteți șterge toți termenii fără discriminare, ci numai factorii comuni între numitor și numărător. De exemplu, în expresia (x (x + 2)) / x, "x" se elimină atât de la numărător, cât și de la numitorul care pleacă (x + 2) / 1 = (x + 2). totuși nu este posibil să facem același lucru în (x + 2) / x simplificând la 2/1 = 2.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 12

Înmulțiți termenii din paranteze pentru constantele lor. Când trebuie să te ocupi de termeni cu paranteze adiacente constantelor, uneori multiplicarea merită să simplificăm expresia. Acest lucru este valabil atât pentru constantele numerice, cât și pentru cele variabile.

Să ne uităm la expresia: 3 (x² + 8). Acest lucru poate fi simplificat 3x² + 24, în timp ce 3x (x² + 8) pot fi rescrise în formular 3x³ + 24x.

Rețineți că, în unele cazuri, ca și în cazul fracțiilor variabile, constanta adiacentă unei paranteze dă posibilitatea de a șterge factorii și nu ar trebui multiplicată. În fracția (3 (x² + 8)) / 3x, de exemplu, factorul 3 apare atât în numerotator cât și în numitor, astfel încât acesta poate fi șters și problema poate fi rescrisă ca (x² + 8) / x. Aceasta este o metodă mai simplă și mai ușoară decât multiplicarea: (3x³ + 24x) / 3x.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile matematice Pasul 13

Simplificați expresia prin factorizare. Descompunerea este o tehnică prin care puteți simplifica expresiile cu variabile, inclusiv cele polinomiale. Gândiți-vă la descompunerea factorului ca la operația inversă "multiplicare în paranteze" explicat mai sus. Uneori, o expresie poate fi rescrisă într-un mod mai simplu dacă este considerată ca un set de factori multiplicați. Acest lucru este valabil mai ales dacă descompunerea vă permite să anulați o parte a expresiei în sine (la fel cum se întâmplă și în fracții). În aceste cazuri speciale (adesea cu ecuații de gradul doi), descompunerea vă permite să găsiți rezultatul final.

Evaluăm expresia x² - 5x + 6 încă o dată. Aceasta poate fi descompusă în (x - 3) (x - 2). Deci dacă x² - 5x + 6 au fost numitorul unei expresii fracționate date cu unul dintre termenii în comun cu numitorul, această descompunere ne-ar permite să eliminăm factorul comun. De exemplu (x² - (X - 2) / (2 (x - 2)), poate fi rescris ca în (x - 3) (x - 2) (x - 3) / 2.

După cum am sugerat anterior, un alt motiv pentru care ar trebui să factorizați o expresie este că acest pasaj ar putea dezvălui soluția anumitor ecuații, în special cele stabilite egal cu zero. De exemplu, analizăm x² - (X - 3) (x - 2) = 0. Deoarece orice număr înmulțit cu zero dă ca produs zero, atunci putem afirma că atunci când termenii din cadrul parantezele sunt zero, ecuația este adevărată. Aceasta înseamnă că soluțiile la ecuație sunt 3 și 2.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit