Cum să obțineți fracțiuni echivalente

Sunt definite două fracții "echivalent" dacă au aceeași valoare. Știind cum să convertești o fracție în alta - diferită, dar echivalentă - este o abilitate matematică esențială, care este necesară pentru orice, de la algebra de bază până la calculul avansat. Acest articol vă va arăta mai multe moduri de a calcula de la multiplicare și diviziuni de bază la metode mai complexe.

conținut

Paşi
Metoda 1
Metoda 2
Metoda 3
Metoda 4
Metoda 5
Sfaturi
Avertismente

paşi

Metoda 1

Obțineți fracțiuni echivalente

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 1$

Multiplicați numărul și numitorul unei fracțiuni cu același număr pentru a obține o fracție echivalentă. Două fracții diferite, dar echivalente, prin definiție, au numerotatori și numitori care sunt multipli dintre ei. Cu alte cuvinte, multiplicarea numărătorului și a numitorului unei fracții cu același număr va avea o fracție echivalentă. Chiar dacă numărul acestei noi fracții va fi diferit, fracțiile vor avea aceeași valoare.

De exemplu, dacă luăm fracția 4/8 și se înmulțește numărătorul și numitorul cu 2, obținem (4 x 2) / (8 x 2) = 8/16. Aceste două fracții sunt echivalente.
(4 × 2) / (8 × 2) este în esență ca 4/8 × 2/2. Rețineți că atunci când multiplicați două fracții, multiplicați numărul de numerar cu numitor și numitor cu numitor.
Rețineți că 2/2 este egal cu 1. Astfel, este ușor de înțeles de ce 4/8 și 8/16 sunt echivalente: a doua fracțiune este doar primul înmulțit cu 2!
Fiecare fracție are un număr infinit de fracțiuni echivalente. Puteți multiplica numitorul și numitorul pentru orice număr întreg, indiferent cât de mare sau mic, pentru a obține fracțiuni echivalente.

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 2$

Împărțiți numitorul și numitorul unei fracțiuni cu același număr pentru a obține o fracție echivalentă. Ca și multiplicare, diviziunea poate fi de asemenea utilizată pentru a identifica o nouă fracțiune echivalentă cu fracțiunea de pornire. Pur și simplu împărțiți numitorul și numitorul unei fracții cu același număr pentru a obține o fracție echivalentă. Dar există un avertisment în aplicarea acestui proces: fracția rezultată, pentru a fi valabilă, trebuie să aibă numere întregi și numitor.

De exemplu, să aruncăm o privire la 4/8 din nou. Dacă, în loc de multiplicare, împărțim numărătorul și numitorul cu 2, obținem (4 la 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 și 4 sunt ambele întregi, deci această fracție echivalentă este validă.

Metoda 2

Utilizați multiplicarea de bază pentru a determina echivalența

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 3$

Găsiți numărul pentru care trebuie să multiplicați numitorul minor pentru a obține numitorul principal. Multe probleme legate de fracții sunt de a determina dacă două fracții sunt echivalente. Prin calcularea acestui număr, puteți reduce fracțiunile la aceiași termeni și înțelegeți echivalența acestora.

Luați în considerare fracțiunile 4/8 și 8/16. Cel mai mic numitor este de 8 și ar trebui să fie înmulțit cu 2 pentru a obține numitorul cel mai mare, 16. Deci, în acest caz, numărul pe care îl căutăm este de 2.
Dacă numerele sunt mai mari, împărțiți pur și simplu numitorul principal pentru numitorul minor. În exemplul nostru 16: 8 = 2.
Rezultatul uneori nu poate fi un număr întreg. Dacă numitorii au fost 2 și 7 atunci numărul pe care îl căutăm ar fi 3,5.

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 4$

Înmulțiți numitorul și numitorul cu numărul calculat în etapa anterioară. Acum cele două fracții sunt diferite, dar echivalente prin definiție deoarece numerotatorii și numitorii sunt multipli. Cu alte cuvinte, multiplicarea numărătorului și a numitorului cu același număr produce o fracțiune echivalentă cu prima. Deși numerele din această nouă fracție sunt diferite, fracțiunea ca întreg reprezintă aceeași valoare.

De exemplu, luați în considerare fracțiunea 4/8 din prima trecere și multiplicați numărul și numitorul cu numărul pe care l-ați primit mai devreme (2). Veți obține: (4x2) / (8x2) = 8/16. Acest lucru ne arată că cele două fracții sunt echivalente.

Metoda 3

Folosiți divizia de bază pentru a determina echivalența

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 5$

Convertiți fiecare fracție în forma zecimală. Pentru cele simple, fără variabile, este posibil să se exprime valoarea sub forma unui număr zecimal, astfel încât să se determine echivalența. Întrucât o fracțiune este în practică o diviziune care trebuie rezolvată, acesta este cel mai bun mod de determinare a echivalenței.

Luați în considerare întotdeauna exemplul 4/8 din exemplul anterior. Fracțiunea, cu alte cuvinte, exprimă împărțirea: 4: 8 = 0,5. Acum, procedați în același mod pentru a doua fracțiune (8/16) și obțineți 8: 16 = 0,5. Deoarece ambele diviziuni conduc la același rezultat, puteți declara că fracțiunile sunt echivalente unul cu celălalt.
Atunci când utilizați această metodă, rețineți că două fracții ar putea să își piardă echivalența după câteva zecimale. De exemplu: 1/3 = 0.333 unde cele trei sunt periodice în timp ce 3/10 = 0.3. Folosind mai mult de o zecimală, veți putea stabili echivalența între două fracții.

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 6$

Împărțiți numitorul și numitorul unei fracțiuni cu același număr pentru al transforma într-o fracție echivalentă. Când trebuie să lucrați cu fracțiuni complexe, metoda divizării necesită mai mulți pași. La fel ca în metoda de multiplicare, puteți împărți numărul și numitorul cu același număr și obțineți o fracțiune echivalentă cu cea originală. Există doar un singur detaliu care trebuie acordat atenției: numitorul și numitorul rezultat trebuie să fie numere întregi pentru ca fracțiunea să fie valabilă.

Întotdeauna luăm în considerare exemplul din 4/8. Dacă în loc de înmulțire divizăm numărul și numitorul cu 2, obținem (4: 2) / (8: 2) = 2/4. 2 și 4 sunt numere întregi, astfel încât noua fracție are valoare.

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 7$

Reduceți fracțiunea la termenii minimi. Cele mai multe fracțiuni sunt exprimate în termenii ei minime. Dacă nu este cazul, o puteți face repede împărțind-o în divizorul comun maxim (MCD). Acest pasaj respectă logica metodei de comparare a două fracții prin convertirea lor la același numitor, dar în acest caz încercăm să exprimăm fiecare fracțiune în termenii ei minime.

Atunci când o fracțiune este redusă la termenii minimi, atât numitorul, cât și cel de numerotare au cea mai mică valoare posibilă, ele trebuie să fie numere prime între ele. Pentru a continua această simplificare, trebuie să împărțiți atât numerotatorul, cât și numitorul maxim divizor comun.

Cel mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și al numitorului este cel mai mare număr care poate diviza ambele în două întregi. În ceea ce privește fracțiunea 4/8, dat fiind faptul că 4 este cel mai mare număr care poate împărți atât 4 cât și 8, doar procedați la împărțirea numărătorului și numitorului: (4: 4) / (8: 4) = 1/2. În celălalt exemplu, cel în care este considerată fracțiunea 8/16, MCD este 8, urmând simplificarea, obținem întotdeauna 1/2.

Metoda 4

Multiplicare încrucișată pentru a rezolva fracțiunile cu o variabilă

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 8$

Utilizați multiplicarea încrucișată pentru a rezolva problemele de echivalență a fracției. Un tip dificil de problemă algebrică privind chestiunea fracțiunilor echivalente implică ecuațiile cu două fracții care conțin - una sau ambele - o variabilă, stabilindu-le egale unul cu celălalt. În astfel de cazuri, știm că fracțiunile sunt echivalente, deoarece sunt singurii termeni de pe laturile opuse ale aceluiași semn, dar de multe ori nu este evident cum să găsim necunoscutul. Din fericire, cu o tehnică numită multiplicare încrucișată, este ușor să rezolvăm aceste tipuri de probleme.

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 9$

Multiplicarea încrucișată este procesul prin care se înmulțește în diagonală sub forma lui "X". Cu alte cuvinte, trebuie să multiplicați numitorul unei fracții de către numitorul celuilalt și invers, să impuneți aceste două soluții egale unul cu celălalt și apoi să le rezolvați.

Luați în considerare exemplele 4/8 și 8/16. Ele nu conțin variabile, dar putem demonstra conceptul deoarece deja știm că sunt echivalente. Multiplicând pe cruce primim: 4 x 16 = 8 x 8 sau 64 = 64, ceea ce este evident adevărat. Dacă cele două numere nu sunt egale, cele două fracții nu sunt echivalente.

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 10$

Introduceți o variabilă. Deoarece, atunci când trebuie să rezolvăm o variabilă, multiplicarea încrucișată este cea mai simplă cale de a determina echivalența dintre fracții, să procedăm prin adăugarea acesteia în exemplele noastre.

Luați în considerare ecuația 2 / x = 10/13. Trecând, înmulțim 2 cu 13 și 10 cu x, apoi ne impunem soluțiile egale unul cu celălalt:

2 × 13 = 26

10 × x = 10 x

10 x = 26. De aici, găsirea unei soluții pentru variabila noastră este o chestiune de algebră simplă. x = 26/10 =2.6.

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 11$

Utilizați multiplicarea încrucișată în același mod pentru ecuații cu mai multe necunoscute sau expresii cu variabile. Unul dintre cele mai bune lucruri despre multiplicarea încrucișată este faptul că funcționează în mod esențial același mod dacă aveți de-a face cu două fracții simple (ca mai sus) sau cu cele mai complexe. De exemplu, dacă ambele fracții conțin variabile, nimic nu se schimbă, trebuie doar să ștergeți aceste variabile la sfârșitul procesului de soluționare. În mod similar, dacă numerotatorii sau numitorii fracțiunilor dvs. conțin expresii variabile (cum ar fi x + 1), pur și simplu trebuie să multiplicați direct folosind proprietatea distributivă și să rezolvați așa cum ați proceda în mod normal.

De exemplu, să luăm în considerare ecuația ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). În acest caz, așa cum am arătat mai sus, îl vom rezolva cu înmulțirea pe cruce:

(x + 3) × 4 = 4x + 12.

(x + 1) x 2 = 2 x 2.

2x + 2 = 4x + 12, simplifică ecuația scăzând 2x de ambele părți.

2 = 2x + 12, izolează variabila scăzând 12 de pe ambele părți.

-10 = 2x, împărțiți ambele părți cu 2 și rezolvați cu x.

-5 = x

Metoda 5

Utilizați formula quadratică pentru a rezolva ecuațiile cu mai multe variabile

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 12$

Multiplicați două fracțiuni pe cruce. Pentru a rezolva problemele de echivalență care au nevoie de formula quadratică, trebuie să începem cu o multiplicare încrucișată. Cu toate acestea, orice multiplicare încrucișată care implică înmulțirea termenilor variabili cu alți termeni variabili conduce la o expresie care nu poate fi ușor rezolvată cu algebra. În aceste cazuri, trebuie să factorizați și apoi să continuați cu formula patratică.

De exemplu, să aruncăm o privire la ecuația ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Mai întâi facem multiplicarea crucii:
(x + 1) x (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
4 × 3 = 12
2x² - 2 = 12.

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 13$

Exprimați ecuația ca o ecuație de gradul doi (ax² + bx + c = 0). Pentru a face acest lucru, faceți-l egal cu zero. Scădeți 12 de pe ambele părți și obțineți: 2x² - 14 = 0.

Unele valori pot fi 0. Chiar dacă 2x² - 14 = 0 este cea mai simplă formă a ecuației, ecuația quadratică reală este 2x² + 0x + (-14) = 0. Acest mod de scriere a ecuației vă va ajuta probabil să respectați forma ecuației patrate chiar și atunci când există valori nula.

$Imaginea intitulată Găsiți fracțiuni echivalente Pasul 14$

Rezolvați ecuația introducând valorile în formula patratică. Aceasta este: x = (-b +/- √ (b² - 4ac)) / 2a și vă permite să găsiți soluția pentru x. Nu fi intimidat de lungimea formulei, trebuie doar să luați valorile în ecuația dvs. și să le inserați în locul potrivit, în cadrul formulei, pentru a găsi soluția.

x = (-b +/- √ (b² - 4ac)) / 2a. Pentru ecuația noastră, 2x² - 14 = 0, a = 2, b = 0 și c = -14.

x = (-0 +/- √ (0² - 4 (2) (- 14))) / 2 (2).

x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2).

x = (+/- √ (112)) / 2 (2).

x = (+/- 10,58 / 4).

x = +/ - 2,64.

$Imaginea intitulată Găsiți fracții echivalente Pasul 15$

Verificați soluția prin introducerea acesteia în locul ecuației. În acest fel, puteți înțelege cu ușurință dacă ați efectuat corect calculele. În exemplul nostru puteți introduce atât valorile 2.64 și -2.64 din ecuația quadratică originală.

Sfaturi

Pentru a transforma o fracțiune într-un echivalent înseamnă să o multiplicați cu 1. În convertirea 1/2 în 2/4, multiplicarea numărătorului și a numitorului cu 2 este aceeași cu înmulțirea 1/2 cu 2/2, care, simplificată, este egală cu 1.
Dacă doriți, puteți converti numerele mixte în fracțiuni necorespunzătoare pentru a face calculele mai ușoare. Evident, nu toate fracțiunile pot fi convertite cu ușurință ca cele din exemplul precedent. De exemplu, numerele mixte (1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) pot face procesul puțin mai dificil. Dacă doriți să convertiți un număr mixt într-o fracție echivalentă, puteți proceda în două moduri: transformând-o într-o fracțiune necorespunzătoare și găsind echivalentul acesteia, sau păstrați numărul mixt și lăsați soluția finală a problemei exprimată în acest fel.
Pentru a converti o fracțiune necorespunzătoare, înmulțiți întreaga parte a numărului mixt de numitorul părții fracționare și apoi adăugați rezultatul numerotatorului. De exemplu: 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Apoi, dacă doriți, puteți transforma această ecuație într-un echivalent: 5/3 × 2/2 = 10/6, care este echivalent cu 1 2/3.
Cu toate acestea, nu sunteți obligat să urmați această procedură. Puteți ignora întreaga parte, convertiți numai partea fracționată și apoi adăugați întreaga parte la noul echivalent fracțional. De exemplu, pentru 3 4/16, luați în considerare doar 4/16. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Acum adăugați întregul la această fracție echivalentă și veți găsi un nou număr mixt: 3 1/4.

Avertismente

Deși când multiplicați două fracții, puteți multiplica numerotatorii și numitorii, nu puteți face același lucru în cazul adăugării și scăderii.
De exemplu, am descoperit anterior că 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Dacă ar fi trebuit să adăugăm 4/4, am fi obținut un rezultat complet diferit. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 sau 3/2.
Pentru a obține fracțiuni echivalente, trebuie să multiplicați versiunea originală cu o fracțiune de 1 (2/2, 3/3 și mai jos). Scăderea și suma nu au aceeași proprietate.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit