gtemata.com

Cum se descompune un Trinomio

Un trinomial este o expresie algebrică formată din trei termeni. Cel mai probabil, veți începe să învățați să rupeți trinomurile cuadratoare, adică scrise în formă de topor2

+ bx + c. Există mai multe trucuri de învățat care se aplică diferitelor tipuri de trinomiuri patrate, dar veți deveni mai bune și mai rapide numai cu practica. Polinoamele de grad mai înalt, cu termeni precum x3 sau x4, ele nu pot fi întotdeauna rezolvate prin aceleași metode, dar este adesea posibil să se utilizeze simple descompuneri sau substituții pentru a le transforma în probleme care pot fi rezolvate ca orice formulă patratică.

paşi

Metoda 1

Break down x2 + bx + c
Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 1
1
Aflați tehnica FOIL. Este posibil să fi învățat deja metoda FOIL, adică "În primul rând, în exterior, în interior, în ultimul rând" sau "În primul rând, afară, înăuntru, ultimul", pentru a multiplica expresii cum ar fi (x + 2) (x + 4). Este util să știți cum funcționează înainte de a ajunge la descompunere:
  • Înmulțiți termenii în primul rând: (x+2) (x+4) = x2 + __
  • Înmulțiți termenii exterior: (x+2) (x +4) = x2+4x + __
  • Înmulțiți termenii interior: (x +2) (x+4) = x2+4x +2x + __
  • Înmulțiți termenii ultimul: (x +2) (X +4) = x2+4x + 2x +8
  • Simplificați: x2+4x 2x ++8 = x2+6x+8
  • Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 2
    2
    Încercați să înțelegeți factorizarea. Atunci când două binomiale se înmulțesc cu metoda FOIL, ajungem la o trinomă (o expresie cu trei termeni) sub forma lax2 + bx + c, unde a, b și c sunt numere. Dacă începeți dintr-o ecuație în această formă, puteți să o descompuneți în cele două binomiale.
  • Dacă ecuația nu este scrisă în această ordine, mutați termenii. De exemplu, rescrieți 3x - 10 + x2 cum x2 + 3x - 10.
  • Cel mai mare exponent este 2 (x2), acest tip de expresie este "pătratic".
  • Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 3
    3
    Scrieți un spațiu pentru răspuns în formularul FOIL. Pentru moment, scrieți doar (__ __) (__ __) în spațiul în care puteți scrie răspunsul. Vom termina mai târziu.
  • Nu scrie + sau - între termeni goi, deoarece nu știm ce vor fi.
  • Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 4
    4
    Completați primii termeni (În primul rând). Pentru exerciții simple, unde primul termen al trinomialului este doar x2, termenii din prima (prima) poziție vor fi întotdeauna x și x. Acestea sunt factorii termenului x2, deoarece x pentru x = x2.
  • Exemplul nostru x2 + 3 x - 10 începe cu x2, astfel încât să putem scrie:
  • (x __) (x __)
  • Vom face exerciții mai complicate în secțiunea următoare, inclusiv trinomurile care încep cu un termen ca 6x2 sau -x2. Pentru moment, urmați exemplul de problemă.
  • Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 5
    5
    Utilizați descompunerea pentru a ghici ultimii (ultimii) termeni. Dacă vă întoarceți și citiți din nou pasajul metodei FOIL, veți observa că prin înmulțirea ultimilor termeni unul cu altul (ultimul) veți avea ultimul termen al polinomului (cel fără x). Deci, pentru a face descompunerea, trebuie să găsim două numere care, multiplicate, dau ultimul termen.
  • În exemplul nostru, x2 + 3 x - 10, ultimul termen este -10.
  • Care sunt diviziile -10? Care două numere înmulțite împreună dau -10?
  • Există câteva posibilități: -1 pentru 10, -10 pentru 1, -2 pentru 5 sau -5 pentru 2. Scrie aceste cupluri undeva să-și amintească de ele.
  • Nu modificați din nou răspunsul nostru. În prezent, suntem în acest moment: (x __) (x __).
  • Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 6
    6
    Încercați ce posibilități sunt bune cu multiplicarea externă și internă (în afara și în interiorul) a termenilor. Am redus ultimii termeni (Last) la unele posibilități. Mergeți la încercări de a încerca orice posibilitate, înmulțirea termenilor externi și interni (Outside și Inside) și compararea rezultatului cu trinomul nostru. De exemplu:
  • Problema noastră inițială are un termen în "x" care este de 3 ori, ceea ce vrem să găsim cu acest test.
  • Încercați cu -1 și 10: (x - 1) (x + 10). Extern + interior = exterior + interior = 10x - x = 9x. Nu sunt bune.
  • Încercați cu 1 și -10: (x + 1) (x - 10). -10x + x = -9x. Nu este adevărat. De fapt, odată ce ați încercat cu -1 și 10, știți că 1 și -10 vor da răspunsul opus celui precedent: -9x în loc de 9x.
  • Încercați cu -2 și 5: (x - 2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Aceasta corespunde polinomului original, deci acesta este răspunsul corect: (x-2) (x + 5).
  • În cazuri simple cum ar fi acest lucru, când nu există nici un număr în fața x, puteți utiliza o comandă rapidă: adăugați doar doi factori împreună și puneți "x" (-2 + 5 → 3x). Acest lucru nu funcționează cu cele mai complicate probleme, însă este bine să vă amintiți "pe drum lung" descrise mai sus.

    • Metoda 2

    Dezasamblați complexele Trinomi plus
    Imaginea intitulată Factor Trinomials Pasul 7
    1
    Folosiți o descompunere simplă pentru a facilita problemele cele mai complicate. Să presupunem că vrem să simplificăm 3x2 + 9x - 30. Căutați un divizor comun pentru fiecare dintre cei trei termeni (divizorul comun maxim, MCD). În acest caz, este de 3:
    • 3x2 = (3) (x2)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3) (- 10)
    • Prin urmare, 3x2 + 9 x - 30 = (3) (x2 + 3 x -10). Putem descompune trinomul din nou folosind procedura dată în secțiunea anterioară. Răspunsul nostru final va fi (3) (x - 2) (x + 5).
  • Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 8


    2
    Căutați descompuneri mai complicate. Uneori, pot fi variabile sau poate fi necesar să se descompună de câteva ori pentru a găsi cea mai simplă expresie posibilă. Iată câteva exemple:
  • 2x2y + 14xy + 24y = (2y)(x2 + 7x + 12)
  • x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 + 11x - 26)
  • -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
  • Nu uitați să o rupeți mai departe, folosind procedura din Metoda 1. Verificați rezultatul și găsiți exerciții similare cu exemplele din partea de jos a acestei pagini.
  • Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 9
    3
    Rezolvați probleme cu un număr în fața lui x2. Unele trinomuri nu pot fi simplificate până când nu obțineți factori. Învață să rezolvi probleme cum ar fi 3x2 + 10x + 8, apoi practicat singur cu problemele de probă din partea de jos a paginii:
  • Așadar, setați soluția: (__ __) (__ __)
  • Primii noștri termeni (primul) vor avea fiecare câte un x și se vor multiplica împreună pentru a da 3x2. Există o singură opțiune posibilă aici: (3x __) (x __).
  • Listează divizorii de 8. Opțiunile posibile sunt 8 x 1 sau 2 x 4.
  • Încercați-le folosind termenii externi și interni (în exterior și în interior). Rețineți că ordinea factorilor este importantă, deoarece termenul extern este înmulțit cu 3x în loc de x. Încercați toate combinațiile posibile până când obțineți un element extern + intern (Outside + Inside) care dă 10x (din cauza problemei originale):
  • (3x + 1) (x + 8) + 24x + x = 25x nu
  • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x nu
  • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x nu
  • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x da Este descompunerea corectă.
  • Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 10
    4
    Utilizați înlocuitorul pentru trinomurile cele mai înalte. Cartea de matematică vă poate surprinde cu un polinom exponent ridicat, cum ar fi x4, chiar și după simplificarea problemei. Încercați să înlocuiți o nouă variabilă pentru a vă găsi un exercițiu pe care îl puteți rezolva. De exemplu:
  • x5+13x3+36x
  • = (X) (x4+13x2+36)
  • Utilizăm o nouă variabilă. Să presupunem că y = x2 și înlocuim:
  • (X) (y2+13y + 36)
  • = (X) (y + 9) (y + 4). Acum să revenim la variabila inițială.
  • = (X) (x2+9) (x2+4)
  • =(X) (x ± 3) (x ± 2)

    • Metoda 3

    Defalcarea cazurilor speciale
    Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 11
    1
    Verificați cu numere prime. Verificați dacă constanta în primul sau al treilea termen al trinomial este un număr prime. Un număr prime este divizibil numai prin el însuși și 1, deci există doar câțiva factori posibili.
    • De exemplu, în trinomio x2 + 6x + 5, 5 este un număr prime, deci binomul trebuie să aibă forma (__ 5) (__ 1).
    • În problema de 3x2 + 10x + 8, 3 este un număr prime, deci binomul trebuie să aibă forma (3x __) (x __).
    • Pentru problema de 3x2 + 4x + 1, 3 și 1 ele sunt prime numere, deci singura soluție posibilă este (3x + 1) (x + 1). (Încă trebuie să înmulțiți pentru a verifica munca depusă, deoarece unele expresii nu pot fi luate în considerare - de exemplu, 3x2 + 100x + 1 nu pot fi defalcate în factori.)
  • Imaginea cu titlul Factor Trinomials Pasul 12
    2
    Verificați dacă trinomul este un pătrat perfect. Un trinomial patrat perfect poate fi descompus în două binomiuri identice, iar factorul este de obicei scris (x + 1)2 în loc de (x + 1) (x + 1). Iată câteva pătrate care apar adesea în probleme:
  • x2+2x + 1 = (x + 1)2 și x2-2x + 1 = (x-1)2
  • x2+4x + 4 = (x + 2)2 și x2-4x + 4 = (x-2)2
  • x2+6x + 9 = (x + 3)2 și x2-6x + 9 = (x-3)2
  • Un pătrat perfect trinomial în formă lax2 + bx + c el are întotdeauna termenii la și c care sunt pătrate perfect pozitive (de exemplu, 1, 4, 9, 16 sau 25) și un termen b (pozitiv sau negativ) care este egal cu 2 (√a * √c).
  • Imaginea intitulată Factorul Trinomials Pasul 13
    3
    Verificați dacă nu există nicio soluție. Nu toate trinomurile pot fi luate în considerare. Dacă sunteți blocat pe un trinomial (ax2 + bx + c), utilizați formula quadratică pentru a găsi răspunsul. Dacă singurele răspunsuri sunt rădăcina pătrată a unui număr negativ, nu există o soluție reală, deci nu există factori.
  • Pentru trinomurile ne-patrate, utilizați criteriul Eisenstein, descris în secțiunea Consiliere.

    • Exemplu Probleme cu răspunsuri

    1. Găsiți răspunsuri la problemele înșelătoare despre descompuneri. Le-am simplificat deja în probleme mai ușoare, deci încercați să le rezolvați folosind pașii văzuți în metoda 1, apoi verificați rezultatul aici:
    2. (2y) (x2 + 7x + 12) = (X + 3) (x + 4)
    3. (x2) (X2 + 11x - 26) = (X + 13) (x-2)
    4. (-1) (x2 - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)2
    5. Încercați cu probleme de descompunere mai dificile. Aceste probleme au un factor comun în fiecare termen care trebuie mai întâi să fie colectat. Evidențiați spațiul după semnele egale pentru a vedea răspunsul, astfel încât să puteți verifica lucrarea:
    6. 3 x 3 + 3 x 2 -6 x = (3x) (x + 2) (x-1) ← evidențiază spațiul pentru a vedea răspunsul
    7. -5x3y2+30x2y2-25y2x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
    8. Practicați cu probleme dificile. Aceste probleme nu pot fi descompuse în ecuații mai ușoare, deci un răspuns trebuie procesat sub formă de (x + _) (_ x + __) pentru încercare și eroare:
    9. 2x2+3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← evidențiați pentru a vedea răspunsul
    10. 9 x 2 + 6 x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)2 (Indiciu: ar putea fi necesar să încercați mai mult de câțiva factori pentru 9 x.)

    Sfaturi

    • Dacă nu puteți să dați seama cum să descompuneți un trinomial cuadrat (ax2 + bx + c), puteți folosi întotdeauna formula patratică pentru a găsi x.
    • Deși nu este obligatorie, puteți utiliza criteriile Eisenstein pentru a determina rapid dacă un polinom este ireductibil și nu poate fi descompus. Aceste criterii funcționează pentru orice polinom, dar sunt deosebit de bune pentru trinom. Dacă există un număr de prime p care este un factor al ultimilor doi termeni și satisface următoarele condiții, atunci polinomul este ireductibil:
    • Termenul constant (pentru un trinomial în formă de topor2 + bx + c, acesta este c) este un multiplu de p, dar nu p2.
    • Termenul inițial (care este a) nu este un multiplu al p.
    • De exemplu, permite determinarea rapidă a faptului că 14x ^ 9 + 45x ^ 4 + 51 este ireductibil, deoarece 45 și 51, dar nu 14, sunt divizibili de numărul prime 3 și 51 nu este divizibil prin 9.

    Avertismente

    • Deși este adevărat pentru patratele, trinomele descompuse nu sunt neapărat produsul a două binomiali. Un exemplu opus este x ^ 4 + 105x + 46 = (x ^ 2 + 5x + 2) (x ^ 2 - 5x + 23).
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit