gtemata.com

Cum de a rezolva polinoame superioare

Teorema fundamentală a algebrei afirmă că un polinom cu coeficienți complexi are cât mai multe rădăcini ca gradul său. În timp ce pentru polinoamele de grad mai înalt acestea nu pot fi găsite întotdeauna algebric, tehnicile ilustrate aici vor permite găsirea tuturor rădăcinilor raționale și, în unele cazuri, a unor rădăcini iraționale sau complexe. Altele pot fi estimate numeric.

paşi

Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele de grad mai înalt Pasul 1
1
Găsiți divizorul comun maxim (MCD). De exemplu, în polinomul 5x ^ 3 + 15x ^ 2 + 100x + 20, fiecare coeficient este un multiplu de 5. Prin urmare, ecuația poate fi simplificată, împărțită pentru a obține 5 (x ^ 3 + 3x ^ + 4) care are aceleași rădăcini ca x ^ 3 + 3x ^ 2 + 20x + 4.
  • Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de grad 2
    2
    Toate polinoamele de gradul al doilea pot fi rezolvate algebric. Împărțiți-vă în factori, dacă o puteți face rapid. În caz contrar, utilizează formula resolutivă a ecuațiilor patratice. Sfat: uitați-vă la partea din ecuația cunoscută sub numele de discriminatoriu (partea b ^ 2-4ac sub rădăcină în formula resolutivă a ecuațiilor de gradul al doilea). Evaluarea acestuia indică natura soluțiilor. De exemplu, dacă rezultatul este pozitiv, există două soluții reale, dacă rezultatul este 0, există o singură soluție, deoarece ecuația patratică este un pătrat perfect, dacă discriminantul este negativ, soluțiile sunt conjugate complexe (a + bi și a-bi). Acestea sunt ecuațiile care nu pot fi împărțite în factori reali, așa cum vă spun mereu în clasa de algebră. Înmulțiți (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 în conformitate cu regula "suma pătratelor".
  • Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de grad 3
    3
    Utilizați regula Descartes pentru a determina semnul rădăcinilor reale. Această regulă furnizează numărul maxim de rădăcini reale negative și pozitive. Ele pot fi, de asemenea, mai mici pentru un număr întreg de 2.
  • Numără semnul modificărilor (atunci când semnul se schimbă de la pozitiv la negativ): + x ^ 2 - x + 6 are două semne de schimbare, ceea ce înseamnă că există fie 2, fie 0 rădăcini pozitive (în acest caz 0, deoarece formula quadratică arată că ambele rădăcini sunt complexe).
  • Introduceți semnul minus în fața fiecărui x: (-x) ^ 2 - (- x) + 6. Simplificați: x ^ 2 + x + 6. Numărați modificările semnelor sau găsiți numărul rădăcinilor reale negative. Acest polinom este 0 rădăcini negative.


  • Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele de grad mai înalt Pasul 4
    4
    Încercați teorema rădăcinilor raționale. Posibilele rădăcini raționale sunt p / q unde p este un divizor al termenului cunoscut și q este un divizor al coeficientului celei mai mari variabile de grad. Folosește regula lui Ruffini pentru a testa fiecare rădăcină rațională. Asigurați-vă că verificați atât pozitiv, cât și negativ dacă nu știți din regula lui Descartes că nici rădăcinile reale pozitive, nici rădăcinile negative reale sunt imposibile.
  • Imaginea intitulată Rezolvă polinoamele cu grad mai mare de grad 5
    5
    Dacă bănuiți că polinomul are o rădăcină dublă, calculați MCD a polinomului și a primului său derivat. Dacă MCD este o constantă, atunci toate rădăcinile vor fi distincte. Dacă MCD este mai mare decât unul, atunci veți fi găsit un factor a cărui rădăcini sunt multiplii rădăcinilor polinomului original.

    • Sfaturi

    • Când rezolvați o problemă, asigurați-vă că ați notat toți pașii și verificați-i de erori.
    • Pentru ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea există formule similare celei de tip quadratic, dar ele sunt mult mai complexe și, în general, ele sunt folosite numai de computere. Polinomii de gradul 5 sau mai mare nu pot fi rezolvați decât dacă sunt împărțiți în factori.
    • După găsirea unei rădăcini sau a unui factor, împărțiți polinomul original pentru polinomul ireductibil al rădăcinii (aceasta reduce gradul și ajută la găsirea celorlalte rădăcini). Dacă căutarea rădăcinilor raționale ale lui x ^ 3-1 duce la x = 1 atunci (x ^ 3-1) / (x-1) = x ^ 2 + x + 1 care conține celelalte rădăcini. Aceasta este și o modalitate de a vă verifica munca. Dacă credeți că x = 3 este o soluție, dar nu puteți împărți polinomul original pentru (x-3) fără a avea restul, ați făcut o greșeală.
    • Există mai multe modalități de a găsi zerouri. Unele dintre acestea funcționează numai în cazuri specifice și nu veți ști dacă vă vor ajuta cu polinomul dvs. până când le veți încerca. Prin urmare, cel mai bun lucru este să cunoașteți cât mai multe metode posibil: una dintre acestea va funcționa!
    • Termenii rădăcini, zerouri și soluţii toate se referă la valorile lui x care satisfac această ecuație f (x) = 0. Ele pot fi folosite interschimbabil.

    Avertismente

    • Utilizați un creion!
    • Fiți atenți și întotdeauna asigurați-vă că vă verificați munca de două ori, astfel încât să nu pierdeți greșelile.
    • Dacă găsiți un număr imaginar, nu uitați că va exista o rădăcină corespunzătoare acelui număr și una pentru întregul său conjugat. Dacă (x-3i) este o soluție, atunci ea va fi de asemenea (x + 3i).
    • Când subdivizați, nu uitați să utilizați atât factori pozitivi, cât și factori negativi.
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit