gtemata.com

Cum de a descompune polinoamele secundare în factori (ecuații patratice)

Un polinom conține o variabilă (x) ridicată la o putere, numită "grad", și termeni și / sau constante diferite. Dezasamblarea unui polinom înseamnă reducerea expresiei în mai mici care sunt multiplicate împreună. Este o abilitate învățată în cursurile de algebră și poate fi dificil de înțeles dacă nu sunteți la acest nivel.

paşi

start

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 1
1
Ordonați-vă expresia. Formatul standard pentru ecuația patratică este:
topor2 + bx + c = 0
Începeți prin sortarea termenilor ecuației dvs. de la cea mai înaltă la cea mai mică, la fel ca formatul standard. De exemplu, luăm:
6 + 6x2 + 13x = 0
Rearanjăm această expresie prin simpla mutare a termenilor, astfel încât să fie mai ușor să o rezolvăm:
6x2 + 13x + 6 = 0
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 2
    2
    Găsiți formularul facturat folosind una din metodele enumerate mai jos. Descompunerea sau factoringul polinomului va avea ca rezultat două expresii mai mici care pot fi multiplicate pentru a reveni la polinomul original:
    6 x2 + 13 x + 6 = (2 x + 3) (3 x + 2)
    În acest exemplu, (2 x + 3) și (3 x + 2) sunt factori din expresia originală, 6x2 + 13 x + 6.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 3
    3
    Verifică munca ta! Înmulțiți factorii identificați. După aceea, combinați termenii similari și veți fi terminați. Începeți cu:
    (2 x 3) (3 x 2)
    Încercăm să înmulțim fiecare termen al primei expresii cu fiecare termen al celui de-al doilea, obținând:
    6x2 + 4x + 9x + 6
    De aici, putem adăuga 4 x și 9 x deoarece aceștia sunt toți termeni similari. Știm că factorii noștri sunt corecți deoarece obținem ecuația de pornire:
    6x2 + 13x + 6

    • Metoda 1

    Continuați pentru Retries

    Dacă aveți un polinom destul de simplu, ați putea să înțelegeți factorii doar dacă îl priviți. De exemplu, cu practica, mulți matematicieni sunt capabili să cunoască această expresie 4 x2 + 4 x + 1 are ca factori (2 x + 1) și (2 x + 1) chiar după ce a văzut de atâtea ori. (Acest lucru nu va fi în mod evident ușor cu polinomii mai complicați.) În acest exemplu, folosim o expresie mai puțin obișnuită:

    3 x2 + 2x - 8
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 4
    1
    Listați factorii termenului "a" și termenul "c". Folosind formatul expresiei topor 2 + bx + c = 0, identificați termenii "a" și "c" și listați ce factori au. Pentru 3x2 + 2x - 8, înseamnă:
    a = 3 și are un număr de factori: 1 * 3
    c = -8 și are patru seturi de factori: 4 * -2, -4 * 2, -8 * 1 și -1 * 8.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 5
    2
    Scrieți două seturi de paranteze cu spații libere. Puteți introduce constantele în spațiul pe care l-ați lăsat în fiecare expresie:
    (x) (x)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de nivel (ecuații patratice) Pasul 6
    3
    Umpleți spațiile din fața lui x cu câțiva factori posibili ai valorii "a". Pentru termenul "a" din exemplul nostru, 3 x2, există o singură posibilitate:
    (3x) (1x)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 7
    4
    Umpleți două spații după x cu câțiva factori pentru constante. Să presupunem că ați ales 8 și 1. Scrieți-le:
    (3x 8) (X 1)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 8
    5
    Decideți ce semne (plus sau minus) trebuie să fie între variabilele x și numerele. Conform semnalelor expresiei originale, este posibil să înțelegem ce semne de constante ar trebui să fie. Vom numi "h" și "k" cele două constante pentru cei doi factori:
    Dacă toporul2 + bx + c atunci (x + h) (x + k)
    Dacă toporul2 - bx - c sau ax2 + bx - c atunci (x - h) (x + k)
    Dacă toporul2 - bx + c atunci (x - h) (x - k)
    Pentru exemplul nostru, 3x2 + 2x - 8, semnele trebuie să fie: (x - h) (x + k), cu doi factori:
    (3x + 8) și (x - 1)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 9
    6
    Încercați alegerea dvs. utilizând multiplicarea termenilor. Un test rapid de efectuat este să vezi dacă cel puțin termenul mediu este de valoarea corectă. Dacă nu, este posibil să fi ales factorii incorecți. Verificăm răspunsul nostru:
    (3 x + 8) (x-1)
    Înmulțind, ajungem la:
    3 x 2 - 3 x + 8x - 8
    Prin simplificarea acestei expresii adăugând termeni precum (-3x) și (8x), obținem:
    3 x2 - 3 x + 8x - 8 = 3 x2 + 5 x - 8
    Acum știm că trebuie să identificăm factorii greși:
    3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 10
    7
    Inversați alegerile dvs. dacă este necesar. În exemplul nostru, să încercăm cu 2 și 4 în loc de 1 și 8:
    (3 x + 2) (x-4)
    Acum termenul nostru c este un -8, dar produsul nostru extern / intern (3x * -4) și (2 * x) este -12x și 2x, care nu se combină pentru a face termenul corect b +2x.
    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul II (ecuații patratice) Pasul 11
    8
    Inversați comanda dacă este necesar. Să încercăm să mutăm 2 și 4:
    (3x + 4) (x - 2)
    Acum termenul nostru c (4 * 2 = 8) este încă bine, dar produsele exterioare / interioare sunt -6x și 4x. Dacă îi combinăm:
    -6x + 4x = 2x
    2x ≠ -2x
    Suntem destul de aproape de cei 2 ori pe care-i urmăream, dar semnul este greșit.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 12
    9
    Verificați din nou semnele dacă este necesar. Sa mergem in aceeasi ordine, dar sa o inversam pe cea cu cel mai mic:
    (3x - 4) (x + 2)
    Acum termenul c este încă bine și produsele externe / interne sunt acum (6x) și (-4x). deoarece:
    6x - 4x = 2x
    2x = 2x
    Acum putem recunoaște din textul original faptul că 2x este pozitivă. Ele trebuie să fie factorii corecți.

    • Metoda 2

    defalcări

    Această metodă identifică toți factorii posibili ai termenilor "a" și "c" și le folosește pentru a înțelege ce factori ar trebui să fie. Dacă numerele sunt foarte mari sau dacă celelalte ipoteze par să ia prea mult timp, utilizați această metodă. Folosim exemplul:

    6x2 + 13x + 6
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 13
    1
    Înmulțiți termenul la cu termenul c. În acest exemplu, la este 6 e c este încă 6.
    6 * 6 = 36
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 14
    2
    Găsiți termenul "b" cu descompunerea și încercarea. Căutăm două numere care sunt factorii produsului "a" * "c" pe care l-am identificat și adăugăm termenul "b" (13).
    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 15
    3
    Înlocuiți cele două numere obținute în ecuație ca sumă a termenului "b". Folosim "k" și "h" pentru a reprezenta cele două numere pe care le-am obținut, 4 și 9:
    topor2 + kx + hx + c
    6x2 + 4x + 9x + 6
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 16
    4
    Noi factorizăm polinomul cu gruparea. Organizați ecuația astfel încât să puteți scoate cel mai mare factor comun între primii doi termeni și ultimii doi. Ambele grupuri rămase trebuie să fie egale. Puneți împreună dividerele maxime comune și închideți-le în paranteze lângă grupul facturat - rezultatul va fi dat de cei doi factori:
    6x2 + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2)

    • Metoda 3

    Joc Triple

    Similar metodei de descompunere, metoda "triple game" analizează factorii posibili ai produsului "a" pentru "c" și le folosește pentru a înțelege ce ar trebui să fie "b". Luați în considerare această ecuație de exemplu:

    8x2 + 10x + 2


    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 17
    1
    Înmulțiți termenul "a" cu termenul "c". Ca și în cazul metodei de descompunere, acest lucru ne va ajuta să identificăm posibili candidați pentru termenul "b". În acest exemplu, "a" este 8 și "c" este 2.
    8 * 2 = 16
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 18
    2
    Găsiți două numere care au această valoare ca produs și termenul "b" ca sumă. Acest pas este identic cu metoda de descompunere - testarea și excluderea posibilelor valori constante. Produsul termenilor "a" și "c" este de 16 și suma este de 10:
    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de nivel (ecuații patratice) Pasul 19
    3
    Luați aceste două numere și încercați să le înlocuiți în formula "triplă joc". Luați cele două numere din pasajul anterior - să le numim "h" și "k" - și să le puneți în această expresie:
    ((ax + h) (ax + k)) / a
    În acest moment am obține:
    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 20
    4
    Vedeți dacă unul dintre cei doi termeni din numărător este divizibil cu `a`. În acest exemplu, verificăm dacă (8 x + 8) sau (8 x + 2) poate fi împărțit la 8 (8 x + 8) divizibil cu 8, deci să împărțim acest termen cu " așa cum este.
    (8 x 8) = 8 (x + 1)
    Termenul găsit este ceea ce rămâne după divizarea termenului pentru `a`: (x + 1)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul al doilea grad (ecuații patratice) Pas 21
    5
    Extrageți divizorul maxim maxim dintr-unul sau din ambii termeni, dacă există. În acest exemplu, al doilea termen are un MCD de 2, deoarece 8 x + 2 = 2 (4x + 1). Combinați acest răspuns cu termenul identificat în pasul anterior. Acestea sunt factorii ecuației voastre.
    2 (x + 1) (4x + 1)

    • Metoda 4

    Diferența a două pătrate

    Unii coeficienți de polinoame pot fi identificați ca "pătrate" sau produse de două numere. Identificarea acestor pătrate vă permite să faceți mult mai rapid descompunerea unor polinoame. Luați în considerare ecuația:

    27x2 - 12 = 0
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 22
    1
    Extrageți divizorul comun maxim, dacă este posibil. În acest caz, putem observa că 27 și 12 sunt divizibile de câte 3, deci vom obține:
    27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 23
    2
    Încercați să verificați dacă coeficienții ecuației dvs. sunt pătrate. Pentru a utiliza această metodă, ar trebui să fii capabil să faci rădăcina pătrată a patratelor perfecte. (Rețineți că vom omite semnele negative - deoarece aceste numere sunt pătrate, ele pot fi produse cu două numere negative sau două numere pozitive)
    9x2 = 3x * 3x și 4 = 2 * 2
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 24
    3
    Folosind rădăcinile pătrate găsite, scrieți factorii. Luăm valorile `a` și `c` din pasajul anterior, `a` = 9 și `c` = 4, după care găsim rădăcinile lor pătrate √ `a` = 3 și √ `c` = 2. Acestea sunt coeficienții expresiilor simplificate:
    27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

    • Metoda 5

    Formula quadratică

    Dacă totul eșuează și ecuația nu poate fi descompusă, utilizați formula patratică. Luați în considerare exemplul:

    x2 + 4x + 1 = 0
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul II (ecuații patratice) Factorul 25
    1
    Introduceți valorile corespunzătoare în formula patratică:
    x = -b ± √ (b2 - 4ac) --------------------- 2a
    Obținem expresia:
    x = -4 ± √ (42 - 4 • 1 • 1) / 2
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 26
    2
    Rezolva x. Ar trebui să obțineți două valori x. Așa cum am arătat mai sus, primim două răspunsuri:
    x = -2 + √ (3) și de asemenea x = -2 - √ (3)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 27
    3
    Utilizați valoarea x pentru a găsi factorii. Introduceți valorile lui x obținute ca și când ar fi constante în cele două expresii polinomiale. Acestea vor fi factorii dvs. Dacă numim două răspunsuri "h" și "k", să scriem cei doi factori ca acesta:
    (x - h) (x - k)
    În acest caz, răspunsul nostru definitiv este:
    (x - (2 + √ (3)) (x - (2 - √ (3)

    • Metoda 6

    Utilizați un Calculator

    Dacă sunteți autorizat să utilizați un calculator de grafic, face procesul de descompunere mult mai ușor, în special în cazul testelor standardizate. Aceste instrucțiuni se referă la un calculator de grafică Texas Instruments. Folosim ecuația de exemplu:

    y = x2 - x - 2
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 28
    1
    Introduceți ecuația pe ecran [Y =].
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 29
    2
    Desenați tendința ecuației utilizând calculatorul. Odată ce ați introdus ecuația, apăsați [GRAPH]: ar trebui să vedeți un arc continuu reprezentând ecuația (și va fi un arc deoarece avem de-a face cu polinoame).
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 30
    3
    Găsiți unde arcul intersectează axa x. Deoarece ecuațiile polinomiale sunt în mod tradițional scrise ca topor2 + bx + c = 0, acestea sunt cele două valori ale lui x care fac expresia egală cu zero:
    (-1, 0), (2, 0)
    x = -1, x = 2
  • Dacă nu puteți localiza manual punctele, apăsați pe [2nd] și apoi pe [TRACE]. Apăsați [2] sau selectați zero. Derulați cursorul la stânga unei intersecții și apăsați [ENTER]. Derulați cursorul la dreapta unei intersecții și apăsați pe [ENTER]. Derulați cursorul cât mai aproape posibil de o intersecție și apăsați [ENTER]. Calculatorul va găsi valoarea lui x. Repetați același lucru pentru a doua intersecție.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 31
    4
    Introduceți valorile x obținute anterior în cele două expresii factoriale. Dacă numim cele două valori ale lui x `h` și `k`, expresia pe care o vom folosi va fi:
    (x - h) (x - k) = 0
    Astfel, cei doi factori trebuie să fie:
    (x - (1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

    • Sfaturi

    • Dacă aveți un calculator TI-84, există un program numit SOLVER, care poate rezolva o ecuație patratică. El va fi capabil să rezolve polinomii de fiecare grad.
    • Coeficientul unui termen inexistent este 0. Dacă este cazul, poate fi utilă rescrierea ecuației.

      x2 + 6 = x2 + 0x + 6
    • Dacă ați luat în considerare un polinom folosind formula quadratică și rezultatul conține un radical, puteți converti valorile lui x în fracții pentru a verifica rezultatul.
    • Dacă un termen nu are un coeficient, 1 este implicit.

      x2 = 1x2
    • În cele din urmă, veți învăța să încercați mental să mergeți. Până atunci, va fi mai bine să o facem în scris.

    Avertismente

    • Dacă învățați acest concept la școală, acordați atenție la ceea ce vă învață profesorul. Nu utilizați doar metoda preferată. Într-un test, profesorul dvs. poate solicita să utilizeze o anumită metodă sau să nu permită utilizarea calculatoarelor de grafic.

    Lucruri de care ai nevoie

    • Un creion
    • O foaie
    • O ecuație patratică (sau un polinom de gradul al doilea)
    • Un calculator de grafic (opțional)
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit