gtemata.com

Cum se obtine Formula Patru

Una dintre cele mai importante formule pentru un student de algebră este cea de tip quadratic, adică x = (- b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a

. Cu această formulă, pentru a rezolva ecuațiile patratice (ecuațiile în axa formularului2 + bx + c = 0) substituie doar valorile a, b și c. Deși este destul de des ști formula pentru majoritatea oamenilor, înțelege modul în care a fost creat este un alt lucru. De fapt, formula este derivată cu o tehnică utilă numită "finalizarea pătratului" care are și alte aplicații matematice.

paşi

Metoda 1

Ia formula
Imagine cu titlul Derivează Formula cuadratură Pasul 1
1
Începeți cu o ecuație patratică. Toate ecuațiile patrate au forma topor2 + bx + c = 0. Pentru a începe să se deducă formula quadratică, scrieți pur și simplu această ecuație generală pe o bucată de hârtie, lăsând o mulțime de spațiu sub ea. Nu înlocuiți nici un număr a a, b, sau c - veți lucra cu forma generală a ecuației.
  • Cuvântul "pătratic" se referă la faptul că termenul x este pătrat. Oricare ar fi coeficienții utilizați a, b, și c, dacă puteți scrie o ecuație în forma binomică normală, este o ecuație patratică. Singura excepție de la această regulă este "la" = 0 - în acest caz, deoarece termenul x nu mai există2, ecuația nu mai este patratică.
  • Imaginea intitulată
    2
    Împărțiți ambele părți pentru "la". Pentru a obține formula patratică, obiectivul este de a izola "x" pe o parte a semnului egal. Pentru a face acest lucru, vom folosi tehnicile "anulare" baza de algebră, pentru a transfera treptat restul variabilelor de cealaltă parte a semnalului egal. Începem prin simpla împărțire a părții din stânga a ecuației pentru variabila noastră "la". Scrieți acest lucru sub prima linie.
  • Când împărțiți ambele părți pentru "la", nu uitați proprietatea distributivă a diviziunilor, ceea ce înseamnă că împărțirea întregii stângi a ecuației pentru a este cum să împărțiți termenii în mod individual.
  • Acest lucru ne oferă x2 + (b / a) x + c / a = 0. Rețineți că a a înmulțit termenul x2 a fost ștearsă, iar partea dreaptă a ecuației este încă zero (zero împărțit la orice număr diferit de zero este zero).
  • Imagine cu titlul Derivați Formula Patru Patru
    3
    scădea c / a pe ambele părți. Ca următorul pas, ștergeți termenul non-x (c / a) din partea stângă a ecuației. Făcând-o ușor, trebuie doar să o scăpați de ambele părți.
  • În acest fel rămâne x2 + (b / a) x = -c / a. Mai avem cei doi termeni în x în stânga, dar partea dreaptă a ecuației începe să ia forma dorită.
  • Imaginea intitulată
    4
    Suma b2/ 4a2 pe ambele părți. Aici lucrurile devin mai complexe. Avem doi termeni diferiți în x - un pătrat și unul simplu - în partea stângă a ecuației. La prima vedere, s-ar părea imposibil să simplificăm în continuare, deoarece regulile algebrei ne împiedică să însumăm termeni variabili cu exponenți diferiți. o "scurtătură" totuși, sunați "finalizarea pătratului" (pe care o vom discuta în curând) ne permite să rezolvăm problema.
  • Pentru a completa pătratul, suma b2/ 4a2 pe ambele părți. Amintiți-vă că regulile de bază ale algebrei ne permit să adăugăm aproape orice dintr-o parte a ecuației, atâta timp cât adăugăm același element celuilalt, deci este o operație complet valabilă. Ecuația ar trebui să arate astfel: x2+(B / a) x + b2/ 4a2 = -c / a + b2/ 4a2.
  • Pentru o discuție mai detaliată despre cum funcționează finalizarea pieței, citiți următoarea secțiune.
  • Imaginea cu titlul Derivează formula quadratică Pasul 5
    5
    Factorizează partea stângă a ecuației. Ca o etapă următoare, pentru a gestiona complexitatea pe care tocmai am adăugat-o, să ne concentrăm doar pe partea stângă a ecuației pentru o plimbare. Partea stângă ar trebui să arate astfel: x2+(B / a) x + b2/ 4a2. Dacă ne gândim "(B / a)" și "b2/ 4a2" ca un simplu coeficient "d" și "și"ecuația noastră, de fapt, are forma x, respectiv2 + dx + e și, prin urmare, poate fi luat în considerare în (x + f)2, unde f este 1/2 din d și rădăcina pătrată a lui e.
  • Pentru scopurile noastre, aceasta înseamnă că putem factoriza partea stângă a ecuației, x2+(B / a) x + b2/ 4a2, în (x + (b / 2a))2.
  • Știm că acest pasaj este corect deoarece (x + (b / 2a))2 = x2 + 2 (b / 2a) x + (b / 2a)2 = x2+(B / a) x + b2/ 4a2, ecuația inițială.
  • Factorizarea este o tehnică valoroasă de algebră care poate fi foarte complexă. Pentru o explicație mai detaliată a ceea ce este factorizarea și modul de aplicare a acestei tehnici, puteți căuta pe internet sau pe wikiHow.
  • Imagine cu titlul Derivați Formula Patru 6
    6
    Utilizați numitorul comun 4a2 pentru partea dreaptă a ecuației. Să facem o scurtă pauză de la partea stângă complicată a ecuației și să găsim un numitor comun pentru termenii din dreapta. Pentru a simplifica termenii fracționați din dreapta, trebuie să găsim acest numitor.
  • Aceasta este o operație destul de ușoară - pur și simplu multiplicați -c / a cu 4a / 4a pentru a obține -4ac / 4a2. Acum, termenii din dreapta ar trebui să fie -4ac / 4a2 + b2/ 4a2.
  • Rețineți că acești termeni au același numitor 4a2, pentru a le putea adăuga (b2 - 4ac) / 4a2.
  • Amintiți-vă că nu trebuie să repetăm ​​această multiplicare pe cealaltă parte a ecuației. Deoarece înmulțirea cu 4a / 4a este înmulțită cu 1 (orice număr diferit de zero este împărțit la 1), nu schimbăm valoarea ecuației, deci nu este necesară compensarea din partea stângă.
  • Imagine cu titlul Deriveaza formula quadratica Pasul 7
    7
    Calculați rădăcina pătrată a fiecărei părți. Cel mai rău lucru sa terminat! Ecuația ar trebui să arate astfel: (x + b / 2a)2) = (b2 - 4ac) / 4a2). Deoarece încercăm să izolam x de o parte a semnului egal, următoarea noastră sarcină este de a calcula rădăcina pătrată a ambelor părți.
  • În acest fel rămâne x + b / 2a = ± √ (b2 - 4ac) / 2a. Nu uitați semnul ±, chiar dacă numerele negative pot fi pătrat.
  • Imagine cu titlul Derivați Formula Patru 8


    8
    scădea b / 2a de ambele părți pentru a termina. În acest moment, x este aproape singur! Acum, tot ce rămâne rămâne să se scadă termenul b / 2a de ambele părți pentru al izola complet. Odată terminată, ar trebui să o primiți x = (-b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a. Pare familiar? Felicitări! Ai formula brută!
  • Să analizăm acest ultim pas în continuare. Scăderea b / 2a din ambele părți ne dă x = ± √ (b2 - 4ac) / 2a-b / 2a. Deoarece ambele b / 2a și √ (b2 - 4ac) / 2a au numitorul comun 2a, le putem adăuga, obținând ± √ (b2 - 4ac) - b / 2a sau, cu termeni mai simpli de citire, (-b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a.

    • Metoda 2

    Aflați tehnica "Finalizarea Piața"
    Imaginea intitulată Derive the Formula quadratic Step 9
    1
    Începeți cu ecuația (x + 3)2 = 1. Dacă nu știați cum să deduceți formula quadratică înainte de a începe să citiți, probabil sunteți încă puțin confuzi de pașii "finalizarea pătratului" în demonstrația precedentă. Nu vă faceți griji - în această secțiune, vom analiza operațiunea în detaliu. Să începem cu o ecuație polinomială pe deplin calculată: (x + 3)2 = 1. În următorii pași vom folosi această ecuație simplă pentru a înțelege de ce ar trebui să folosim "finalizarea pătratului" pentru a obține formula patratică.
  • Imaginea cu titlul Derivați formula cuadratură Pasul 10
    2
    Rezolvați pentru x. Rezolvați (x + 3)2 = 1 pentru x este destul de simplu - se calculează rădăcina pătrată a ambelor părți, apoi se scade trei din ambele pentru a izola x. Citiți mai târziu pentru o explicație pas cu pas:
  • (x + 3)2 = 1
    (x + 3) = √1
    x + 3 = ± 1
    x = ± 1 - 3
    x = -2, -4
  • Imaginea cu titlul Derivați formula de tip quadratic 11
    3
    Extindeți ecuația. Am rezolvat pentru x, dar nu am terminat încă. acum, "deschidem" ecuația (x + 3)2 = 1 scrie în formă lungă, astfel: (x + 3) (x + 3) = 1. Să extindem din nou această ecuație, înmulțind termenii în paranteze. Din proprietatea multiplicatoare distributivă, știm că trebuie să ne multiplicăm în această ordine: primii termeni, apoi termenii externi, termenii interni și, în final, ultimii termeni.
  • Înmulțirea are această evoluție:
    (x + 3) (x + 3)
    (xxx) + (xx3) + (3xx) + (3x3)
    x2 + 3x + 3x + 9
    x2 + 6x + 9
  • Imagine cu titlul Derivați Formula de Formula Quadratic 12
    4
    Transformați ecuația într-o formă patrată. Ecuația noastră arată astfel: x2 + 6x + 9 = 1. Rețineți că este foarte asemănător unei ecuații patrate. Pentru a obține forma completă în formă de cadran, trebuie doar să scăpăm unul din ambele părți. Așa că ajungem x2 + 6x + 8 = 0.
  • Imagine cu titlul Derivați Formula Patru 13
    5
    Să recapitulăm. Să revizuim ceea ce știm deja:
  • Ecuația (x + 3)2 = 1 are două soluții pentru x: -2 și -4.
  • (x + 3)2 = 1 este egal cu x2 + 6x + 9 = 1, care este egal cu x2 + 6x + 8 = 0 (o ecuație patratică).
    Astfel, ecuația patratică x2 + 6x + 8 = 0 ha -2 și -4 ca soluții pentru x. Dacă verificăm prin înlocuirea acestor soluții cu x, obținem întotdeauna rezultatul corect (0), deci știm că acestea sunt soluțiile potrivite.
  • Imaginea intitulată
    6
    Aflați cum să cunoașteți tehnicile generale ale "finalizarea pătratului". După cum am văzut mai devreme, este ușor să rezolvăm ecuațiile patratice prin aducerea lor în forma (x + a)2 = b. Dar pentru a putea transporta o ecuație cuadratoare în această formă convenabilă, s-ar putea să scăpăm sau să adăugăm un număr la ambele părți ale ecuației. În cazuri mai generale, pentru ecuațiile patrate în forma x2 + bx + c = 0, c trebuie să fie egală cu (b / 2)2 de ce ecuația poate fi luată în considerare în (x + (b / 2))2. Dacă nu, trebuie doar să adăugați și să scăpați numerele de pe ambele părți pentru a obține acest rezultat. Această tehnică este numită "finalizarea pătratului", și asta este exact ceea ce am făcut pentru a obține formula patratică.
  • Iată alte exemple de factoring cu ecuație patratică - rețineți că în fiecare termen "c" este același cu termenul "b" împărțit doi, pătrat.
    x2 + 10x + 25 = 0 = (x + 5)2
    x2 - 18x + 81 = 0 = (x + -9)2
    x2 + 7x + 12,25 = 0 = (x + 3,5)2
  • Iată un exemplu de ecuație patratică unde termenul "c" nu este egal cu jumătate din termen "b" pătrat. În acest caz, ar trebui să adăugăm la fiecare parte pentru a obține egalitatea dorită - cu alte cuvinte, trebuie "completați pătratul".
    x2 + 12x + 29 = 0
    x2 + 12x + 29 + 7 = 0 + 7
    x2 + 12x + 36 = 7
    (x + 6)2 = 7

    • Lucruri de care ai nevoie

    • Hârtie și stilou
    Afișați mai multe ... (3)
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit