Cum se calculează zona unui Pentagon

Un pentagon este un poligon ale cărui laturi sunt compuse din cinci linii. Aproape toate problemele matematice cu care va trebui să vă confruntați în studiile de carieră școlară pentagonale regulate, apoi compuse din cinci părți identice. Pentru a calcula aria acestei figuri geometrice există două metode care vor fi folosite pe baza informațiilor aflate în posesia lor.

conținut

Paşi
Metoda 1
Metoda 2
Metoda 3
Sfaturi

paşi

Metoda 1

Calculați zona pornind de la lungimea laturii și a adormirii

Începeți de la măsurarea laturii și a apotemului. Această metodă poate fi aplicată pentagonilor obișnuiți, care au, prin urmare, 5 fețe identice. Pe lângă cunoașterea lungimii laturilor, va trebui să cunoașteți și lungimea apotemului. la "pantă" un pentagon înseamnă linia care, începând de la centrul figurii, intersectează o parte cu un unghi drept de 90 °.

Nu confunda apothem cu raza, care în acest caz este linia care se alătură centrului figurii cu unul dintre vârfurile pentagonului. Dacă singurele date aflate în posesia dvs. sunt lungimea laturii și raza, utilizați metoda descrisă în această secțiune.
În acest exemplu, este studiat un pentagon cu laturi lungi 3 unitate și apothem lung 2 unități.

Subdivizați pentagonul în cinci triunghiuri. Pentru a face acest lucru trageți 5 linii drepte care conectează centrul figurii cu fiecare dintre vârfuri (cele cinci colțuri ale figurii). La sfârșit veți obține cinci triunghiuri egale.

Calculați suprafața unui triunghi. Fiecare triunghi va avea cum ar fi bază o parte a pentagonului și cum înălțime apotema (amintiți-vă că înălțimea unui triunghi este linia care se alătură vârfului, iar partea opusă creând un unghi drept). Pentru a calcula suprafața fiecărui triunghi, pur și simplu folosiți formula clasică: (baza x înălțime) / 2.

În exemplul nostru vom obține: Area = (3 x 2) / 2 = 3 unități pătrate.

Înmulțiți aria unui singur triunghi cu cinci. După ce ați împărțit un pentagon regulat în cinci triunghiuri, toate acestea vor fi identice. De aceea, deducem că pentru a calcula suprafața totală a pentagonului vom înmulți pur și simplu aria unui singur triunghi cu cinci.

În exemplul nostru vom obține: Aria = 5 x (suprafața triunghiului) = 5 x 3 = 15 unități pătrate.

Metoda 2

Calculați zona pornind de la lungimea laterală

Părți din lungimea unei părți. Această metodă se aplică numai la pentagonii obișnuiți, adică au 5 fețe identice.

În acest exemplu, studiem un pentagon având laturi lungi 7 unități.

Subdivizați pentagonul în cinci triunghiuri. Pentru a face acest lucru trageți 5 linii drepte care conectează centrul figurii cu fiecare dintre vârfuri (cele cinci colțuri). La sfârșit veți obține cinci triunghiuri egale.

Împărțiți un triunghi în jumătate. Pentru a urmări, o linie care pornește din centrul pentagonului intersectează baza unui triunghi care formează un unghi de 90 °. Apoi veți obține două triunghiuri dreptunghiulare identice.

Studiem unul din triunghiurile dreptunghiulare. Știm deja o parte și un colț al triunghiului nostru mic, astfel încât să putem deduce următoarele:

bază din triunghiul nostru va fi egal cu jumătate din lungimea laturii pentagonului. În exemplul nostru, partea măsoară 7 unități, astfel încât baza va fi egală cu 3,5 unități.

unghiul în centrul unui pentagon regulat format de raza și dall`apotema este întotdeauna de 36 ° (pornind de la axioma că unghiul rândul său este de 360 °, împărțind pentagonul în 10 triunghiuri în unghi drept, atunci vom obține 360 ÷ 10 = 36. Deci fiecare triunghi va avea colțul compus din bază și hypotenuse, cu un vârf în centrul pentagonului, care măsoară 36 °) ..

Calculați înălțimea triunghiului dreptunghiului. înălţimea a triunghiului coincide cu apotemul pentagonului, prin urmare linia dreaptă care pornește de la centru intersectează partea pentagonului la un unghi de 90 °. Pentru a calcula lungimea acestei laturi putem ajuta cu notiuni de baza ale trigonometriei:

Într - un triunghi drept tangentă un unghi este egal cu raportul dintre lungimea laturii opuse și lungimea laturii adiacente.

Latura opusă unghiului de 36 ° este baza triunghiului (pe care știm că este egal cu jumătate din lungimea laturii pentagonului). Partea adiacentă unghiului de 36 ° este înălțimea triunghiului.

tan (36º) = partea opusă / partea adiacentă.

În exemplul nostru vom obține: tan (36º) = 3.5 / înălțime.

înălțimea x tan (36º) = 3,5

înălțime = 3,5 / bronz (36 °)

înălțime = 4.8 unitate (rotunjirea rezultatului pentru a simplifica calculele).

Să calculam aria triunghiului. Suprafața unui triunghi este egal cu: (lățime x înălțime) / 2. Acum că știm măsurarea înălțimii putem folosi formula tocmai am menționat pentru a calcula aria triunghiului nostru drept.

În exemplul nostru, suprafața este dată de: (baza x înălțime) / 2 = (3,5 x 4,8) / 2 = 8,4 unități pătrate.

Înmulțiți aria unui triunghi în unghi drept pentru a obține aria totală a pentagonului. Unul dintre triunghiurile dreptunghiului pe care l-am studiat acoperă exact 1/10 din suprafața totală a cifrei în cauză. Așadar, deducem că pentru a calcula suprafața totală a pentagonului, înmulțiți aria triunghiului cu 10.

În exemplul nostru vom obține următoarele: 8.4 x 10 = 84 unități pătrate.

Metoda 3

Utilizați formula matematică

Folosiți perimetrul și apotemul. la "pantă" un pentagon înseamnă linia care, începând de la centrul figurii, intersectează o parte cu un unghi drept de 90 °. Dacă această măsură este cunoscută, se poate aplica această formulă simplă:

Zona unui pentagon obișnuit este egală cu: pa/ 2, unde p este perimetrul e la este lungimea apotemului.
Dacă nu cunoașteți perimetrul, îl puteți calcula în modul următor, pornind de la măsura unei părți: p = 5s, unde s este lungimea unei singure laturi a pentagonului.

Utilizați măsura de o parte. Dacă știți numai dimensiunea unei singure părți, puteți aplica următoarea formulă:

Zona unui pentagon obișnuit este egală cu: (5s²) / (4 (36 °)), unde s este măsura unei părți a figurii.

tan (36º) = √ (5-2√5). Dacă nu aveți un calculator care să poată calcula funcția bronza la un unghi, puteți utiliza următoarea formulă: Area = (5s²) / (4√ (5-2√5)).

Alegeți formula care utilizează numai măsurarea razei. Puteți calcula suprafața unui pentagon obișnuit, de asemenea pornind de la măsurarea razei sale. Formula este după cum urmează:

Zona unui pentagon obișnuit este egală cu: (5/2)r²păcat (72º), unde r este măsura razei.

Sfaturi

Pentru a face ca calculele matematice să fie mai puțin complexe, exemplele rotunjite au fost folosite în exemplele din acest articol. Prin calcularea zonei și a altor măsurători folosind date reale, fără a face nicio rundă, veți obține rezultate ușor diferite.
Dacă este posibil, efectuați calculele utilizând atât metoda geometrică, cât și formula aritmetică și comparați rezultatele obținute pentru a confirma corectitudinea rezultatului. Prin efectuarea calculului formulei aritmetice într-o singură trecere (fără a efectua rundele prevăzute de pașii intermediari), puteți obține un rezultat ușor diferit, dar totuși foarte asemănător cu primul. Această diferență este generată deoarece rotunjirea tuturor etapelor care alcătuiesc formula finală utilizată nu se efectuează.
Studiul pentagonilor neregulați (în cazul în care laturile figurii nu sunt la fel) este mult mai complex. În mod normal, cea mai bună abordare este împărțirea pentagonului neregulat în triunghiuri din care vor fi adăugate toate zonele. În mod alternativ, poate fi necesar să procedați în felul următor: trageți o figură care circumscrie pentagonul, calculați zona și scăpați din ea zona care nu este inclusă în pentagon.
Formulele matematice sunt obținute prin metode geometrice foarte asemănătoare cu cele descrise în acest articol. Încercați să aflați cum au fost derivate formulele utilizate. Formula care utilizează raza este mult mai greu de dedus decât celelalte (indiciu: va trebui să utilizați identitatea dublă a colțului).

Afișați mai multe ... (3)

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit