gtemata.com

Cum se rezolvă ecuațiile trigonometrice

O ecuație trigonometrică este o ecuație care conține una sau mai multe funcții trigonometrice ale variabilei x. Rezolvarea pentru x înseamnă găsirea valorilor x care sunt inserate în cadrul funcției trigonometrice pentru ao satisface.

  • Soluțiile sau valorile funcțiilor arcului sunt exprimate în grade sau în radiani. De exemplu: x = π / 3 - x = 5π / 6 - x = 3π2 - x = 45 deg. - x = 37,12 °. - x = 178,37 grade.
  • Notă: Pe cercul trigonometric al unității, funcțiile trigonometrice ale fiecărui arc sunt aceleași funcții trigonometrice ale unghiului corespunzător. Cercul trigonometric definește toate funcțiile trigonometrice ale variabilei arc x. Este, de asemenea, folosit ca dovadă, în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple sau a inegalităților.
  • Exemple de ecuații trigonometrice:
  • sin x + păcat 2x = 1/2 - bronz x + pătuț x = 1,732
  • cos 3x + păcat 2x = cos x - 2sin 2x + cos x = 1
  1. Cercul trigonometric unitar.
  2. Este un cerc cu raza = 1 unitate, având originea lui O. Unitatea trigonometrică definește patru funcții trigonometrice principale ale arcului variabil x care se rotește în sens invers acelor de ceasornic pe el.
  3. Când arcul, cu valoarea x, variază de la unitatea cercului trigonometric:
  4. Axa orizontală OAx definește funcția trigonometrică f (x) = cos x.
  5. Axa verticală OBy definește funcția trigonometrică f (x) = sin x.
  6. Axa verticală AT definește funcția trigonometrică f (x) = tan x.
  7. Axa orizontală BU definește funcția trigonometrică f (x) = patul x.
  • Cercul trigonometric al unității este, de asemenea, utilizat pentru a rezolva ecuațiile trigonometrice de bază și inegalitățile, luând în considerare diferitele poziții ale axei x pe ea.

paşi

Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 1
1
Cunoașteți conceptul de rezoluție.
  • Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, transformați-o într-una din ecuațiile trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice la final constă în rezolvarea a 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază.
  • Imaginea intitulată Rezolva ecuații trigonometrice Pasul 2
    2
    Înțelegerea modului de rezolvare a ecuațiilor de bază.
  • Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
  • sin x = a - cos x = a
  • tan x = a - pătuț x = a
  • Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază constă în studierea diferitelor poziții ale arcului x pe cercul trigonometric și folosirea tabelelor de conversie (sau a calculatorului). Pentru a înțelege pe deplin modul de rezolvare a acestor ecuații de bază și altele asemănătoare, consultați cartea: "Trigonometria: Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice" (Amazon E-book 2010).
  • Exemplul 1. Solvează păcatul x = 0.866. Tabela de conversie (sau calculatorul) returnează soluția: x = π / 3. Cercul trigonometric are un alt arc (2π / 3) care are aceeași valoare pentru sine (0.866). Cercul trigonometric oferă o infinitate de alte soluții numite soluții extinse.
  • x1 = π / 3 + 2k.Pi și x2 = 2π / 3. (Soluții cu perioada (0, 2π))
  • x1 = π / 3 + 2k Pi și x2 = 2π / 3 + 2k π. (Soluții extinse).
  • Exemplul 2. Rezolvare: cos x = -1/2. Calculatorul returnează x = 2 π / 3. Cercul trigonometric oferă un alt arc x = -2π / 3.
  • x1 = 2π / 3 + 2k.Pi și x2 = - 2π / 3. (Soluții cu perioada (0, 2π)
  • x1 = 2π / 3 + 2k Pi și x2 = -2π / 3 + 2k.π. (Soluții extinse)
  • Exemplul 3. Rezolvare: tan (x - π / 4) = 0.
  • x = π / 4 - (Soluții cu perioada π)
  • x = π / 4 + k Pi- (soluții extinse)
  • Exemplul 4. Rezolvare: pătuț 2x = 1.732. Calculatorul și cercul trigonometric revin:
  • x = π / 12 - (Soluții cu perioada π)
  • x = π / 12 + k π - (Soluții extinse)
  • Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 3
    3
    Aflați transformările care trebuie folosite pentru a simplifica ecuațiile trigonometrice.
  • Pentru a transforma o anumită ecuație trigonometrică într-o bază, utilizând transformări comune algebrice (factorizare, factori comuni, identitatea polinomială, și așa mai departe), definițiile și proprietățile funcțiilor trigonometrice, și identități trigonometrice. Există aproximativ 31, inclusiv ultimele 14 trigonometrice, de la 19 la 31, se numesc identități de transformare, deoarece sunt folosite pentru a transforma ecuațiile trigonometrice. Vedeți cartea prezentată mai sus.
  • Exemplul 5: Ecuația trigonometrice: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 poate fi transformat, folosind identități trigonometrice, într-un produs de bază ecuații trigonometrice: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Ecuațiile trigonometrice de bază care trebuie rezolvate sunt: ​​cos x = 0 - sin (3x / 2) = 0 - și cos (x / 2) = 0.
  • Imaginea intitulată Rezolva ecuații trigonometrice Pasul 4
    4


    Găsiți arcele care corespund funcțiilor trigonometrice cunoscute.
  • Înainte de a afla cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice, trebuie să știți cum să găsiți rapid arcele funcțiilor trigonometrice cunoscute. Valorile de conversie pentru arce (sau unghiuri) sunt furnizate de tabelele trigonometrice sau de calculatoare.
  • Exemplu: După rezolvare, obținem cos x = 0,732. Calculatorul ne dă soluția arc x = 42,95 grade. Cercul trigonometric al unității va oferi o altă soluție: arcul care are aceeași valoare ca și cosinusul.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 5
    5
    Desenați arcele care sunt soluții pe cercul trigonometric.
  • Puteți desena arcele pe cercul trigonometric pentru a ilustra soluția. Punctele extreme ale acestor margini ale soluției sunt poligoane regulate pe cercul trigonometric. De exemplu:
  • Punctele extreme ale soluției arc x = π / 3 + k.π / 2 formează un pătrat pe cercul trigonometric.
  • Soluțiile arcurilor x = π / 4 + k.π / 3 sunt reprezentate de vârfurile unui hexagon obișnuit pe cercul trigonometric al unității.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 6
    6
    Aflați abordările de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
  • Dacă ecuația trigonometrică dată conține doar o funcție trigonometrică, rezolvă-o ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă ecuația dată conține două sau mai multe funcții trigonometrice, există 2 moduri de rezolvare a acesteia, în funcție de transformările disponibile.
  • A. Abordarea 1.
  • Transforma ecuația dată într-o formă de produs: f (x) .g (x) = 0 sau f (x) .g (x) .h (x) = 0, unde f (x), g (x ) eh (x) sunt funcțiile trigonometrice de bază.
  • Exemplul 6. Rezolvare: 2cos x + sin 2x = 0 (0 < x < 2π)
  • Soluția de rezolvare. Înlocuiți păcatul 2x folosind identitatea: păcat 2x = 2 * sin x * cos x.
  • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Apoi, rezolva cele 2 funcții trigonometrice de bază: cos x = 0, și (sin x + 1) = 0.
  • Exemplul 7. Soluționați: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
  • Soluție: Asigurați-un produs, folosind identități trigonometrice: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Apoi, rezolvă cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0, și (2cos x + 1) = 0.
  • Exemplul 8. Rezolvare: păcat x - sin 3x = cos 2x. (0 < x < 2π)
  • Soluția de rezolvare. Transforma într-un produs, folosind identitatea: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Apoi rezolva cele 2 ecuatii trigonometrice de bază: cos 2x = 0, și (2sin x + 1) = 0.
  • B. Abordarea 2.
  • Transformați ecuația trigonometrică de bază într-o ecuație trigonometrică care are o singură funcție trigonometrică cu variabilă. Există două sfaturi despre cum să selectați variabila corespunzătoare. Variabilele comune de selectat sunt: ​​sin x = t - cos x = t - cos 2x = t, tan x = t și tan (x / 2) = t.
  • Exemplul 9. Rezolvare: 3sin ^ 2 x-2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2pi).
  • Soluția de rezolvare. Înlocuiește ecuația (cos ^ 2 x) cu (1 - sin ^ 2 x), apoi simplifică ecuația:
  • sin = 2 x - 2 - 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuirea păcatului x = t. Ecuația devine: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Este o ecuație patratică care are 2 rădăcini reale: t1 = -1 și t2 = 9/5. Al doilea t2 trebuie să fie aruncat ca > 1. În continuare, rezolvați: t = sin = -1 -> x = 3π / 2.
  • Exemplul 10. Rezolvarea: tan x + 2 tan ^ 2 x = pătura x + 2.
  • Soluția de rezolvare. Înlocuiți tan x = t. Transforma ecuația dată într-o ecuație cu t variabila: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. rezolva-l pentru t din acest produs, apoi rezolva ecuațiile de bază trigonometrice tan x = t x.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Pasul 7
    7
    Rezolvați anumite tipuri de ecuații trigonometrice.
  • Există anumite tipuri de ecuații trigonometrice care necesită transformări specifice. Exemple:
  • a * sin sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
  • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
  • Imaginea intitulată Rezolva ecuații trigonometrice Pasul 8
    8
    Aflați proprietățile periodice ale funcțiilor trigonometrice.
  • Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică revenind la aceeași valoare după o rotație a unei perioade. Exemple:
  • Funcția f (x) = sin x are 2π ca perioadă.
  • Funcția f (x) = tan x are π ca o perioadă.
  • Funcția f (x) = sin 2x are π ca o perioadă.
  • Funcția f (x) = cos (x / 2) are 4π ca perioadă.
  • Dacă perioada este specificată în problemă / test, trebuie doar să găsiți arc (s) x soluție în perioada respectivă.
  • NOTĂ: Rezolvarea unei ecuații trigonometrice este o sarcină dificilă care duce adesea la erori și greșeli. Prin urmare, răspunsurile trebuie verificate cu atenție. După ce a stabilit, puteți controla soluții folosind o diagramă sau un calculator pentru a desena direct funcția trigonometrică R (x) = 0. Răspunsurile (rădăcini reale) vor fi date în zecimale. De exemplu, π este dată de valoarea 3.14.
    • Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit