gtemata.com

Cum să înțelegeți cercul unic

Cercul unitar este cel mai bun instrument disponibil în ceea ce privește trigonometria - dacă într-adevăr înțelegeți ce este și pentru ce este, atunci trigonometria va deveni mult mai simplă.

paşi

1
Înțelege ce este cercul unității. Cercul unitar este un cerc centrat în origine, a cărui rază este egală cu 1. Își amintește, din noțiunile de pe conic, că ecuația circumferinței goniometrice este x2+y2= 1. Această circumferință poate fi utilizată pentru a obține funcțiile trigonometrice de bază, dar și ca instrument de ajutor pentru reprezentarea grafică a acestora. Cercul poate fi considerat ca o linie la numere reale, pentru a fi folosit ca punct de referință pentru evaluarea funcțiilor trigonometrice.
  • 2
    Aflați cele 6 funcții de bază trigonometrice. Trebuie să vă amintiți:
  • sinθ = opusul cathet / hypotenuse
  • cosθ = catetum / hypotenuse adiacente
  • tanθ = cathetul opus / cathetul adiacent
  • cscθ = 1 / păcat
  • secθ = 1 / cos
  • cotθ = 1 / tan.
  • 3
    Înțelege ce este radiant. Radianul este o altă unitate de măsură a unghiurilor - este definită ca unghiul prin care lungimea arcului circumferențial este egală cu lungimea razei. Rețineți că dimensiunea și orientarea acestei circumferințe sunt irelevante. De asemenea, trebuie să cunoașteți numărul de radiani într-un cerc (360 °) - rețineți că circumferința este dată de 2πr, deci, într-un cerc, există măsurători de 2p radius. Din moment ce un radian, prin definiție, este unghiul pentru care lungimea arcului este egală cu lungimea razei, rezultă că un cerc este format din 2π radiani.
  • 4
    Aflați regulile de conversie între radiani și grade. Există 2π radiani într-un cerc complet, adică 360 °. Prin urmare:
  • 2π radiani = 360 °
  • radiant = (360 / 2π) grade
  • radiant = (180 / π) grade
  • și
  • 360 ° = 2π radiani
  • grad = (2π / 360) radiani
  • grad = (π / 180) radiani
  • 5
    Aflați unghiurile "speciale". Unghiurile speciale în radiani sunt π / 6, π / 3, π / 4, π / 2, π și multiplii acestora (de exemplu 5π / 6).
  • 6


    Aflați și memorați identitățile trigonometrice care identifică, pentru fiecare colț, cele 6 funcții trigonometrice. Pentru a obține aceste identități, trebuie să vă uitați la cercul unic și să vă amintiți că circumferința sa este descrisă de o linie cu numere reale. Numărul real care corespunde unui punct din linie este egal cu valoarea radiansului unghiului format de acel punct. De exemplu, punctul a π / 2 de pe linia de număr real corespunde cu punctul de pe cercul a cărui rază formează un unghi π / 2 în raport cu raza orizontală pozitivă. Prin urmare, trucul pentru a găsi valoarea trigonometrică a fiecărui colț constă în găsirea coordonatelor punctului. Ipotenuzei, care coincide cu raza cercului, care este întotdeauna 1 și orice număr împărțit la 1 dă aceeași, având în vedere că cateta opus este egală cu valoarea coordonata punctului de pe axa Y, rezultă că valoarea de san este egală cu propria sa coordoneze axa Y. pentru cosinusul se aplică în mod analog o logică este dată de partea adiacentă împărțită ipotenuzei, care este întotdeauna în valoare latura adiacentă 1 este egal cu coordonatele punctului de pe axa X, și, prin urmare, cosina este reprezentată tocmai de coordonatele pe axa X. Tangenta este un pic mai complicată. Tangenta unui unghi, intr-un triunghi drept, este data de cathetul opus, impartit de catehetul adiacent. Problema este că, în acest caz, spre deosebire de exemplele anterioare, nu există un numitor constant, așa că trebuie să fim puțin mai creativi. Amintiți-vă că cateta aplicată este egală cu coordonata pe axa Y, iar adiacent coordonatei de-a lungul axei X, astfel încât, prin înlocuirea, veți găsi că tangenta este egală cu / x y. Folosind aceste concepte, puteți obține funcțiile trigonometrice inverse prin luarea reciprocă a formulelor. În rezumat, identitățile trigonometrice sunt prezentate mai jos.
  • sinθ = y
  • cosθ = x
  • tanθ = y / x
  • csc = 1 / an
  • sec = 1 / x
  • cot = x / y
  • 7
    Găsiți și memorați cele 6 funcții trigonometrice pentru unghiurile pe axe. Pentru unghiuri multiple de π / 2, cum ar fi 0, π / 2, π, 3π / 2, 2π etc., găsirea funcțiilor trigonometrice este la fel de simplă ca unghiurile de plotare pe axe. Dacă raza care delimitează unghiul este pe axa X, atunci Sine va fi 0 și Cosine 1 sau -1 (în funcție de direcția razei). În mod similar, dacă raza care delimitează unghiul este pe axa Y, Sine va fi 1 sau -1, iar Cosine va fi 0.
  • 8
    Găsiți și memorați cele 6 funcții trigonometrice ale unghiului special π / 6. Începeți prin reprezentarea unghiului π / 6 pe cercul unității. Știi cum să obțină, deoarece, pe de o parte, lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic speciale (30-60-90 sau 45-45-90) - unghiul π / 6, care corespunde la 30 de grade, este tocmai unul dintre aceste cazuri . Dacă amintiri: cateta mai scurt este jumatate din ipotenuza, astfel încât coordonatele Y este egal cu cateta ½- mai este egal cu √3 ori cateta mai scurt sau (√3) / 2, și, prin urmare, coordonate pe axa x este (√3) / 2. Coordonatele punctului sunt deci ((√3) / 2,1 / 2). Folosind identitatea pasului anterior, constatăm că:
  • sin π / 6 = 1/2
  • cos π / 6 = (√3) / 2
  • tan π / 6 = 1 / (√3)
  • csc π / 6 = 2
  • sec / 6 = 2 / (√3)
  • pat p / 6 = √3
  • 9
    Găsiți și memorați cele 6 funcții trigonometrice ale unghiului special π / 3. Punctul care identifică, pe circumferință, unghiul π / 3 este astfel încât coordonatele X și Y să corespundă, respectiv, coordonatelor Y și X ale unghiului π / 6. Rezultă că punctul este (1/2, √3 / 2). Prin urmare:
  • sin π / 3 = (√3) / 2
  • cos π / 3 = 1/2
  • tan π / 3 = √3
  • csc π / 3 = 2 / (√3)
  • sec s / 3 = 2
  • pătuț π / 3 = 1 / (√3)
  • 10
    Găsiți și memorați cele 6 funcții trigonometrice ale unghiului special π / 4. În triunghiul dreptunghiular 45-45-90, laturile sunt într-un raport astfel încât măsurătorile de hipotensiune √2 și cele două catete 1. De aceea, pe cercul unic, avem exact aceste măsuri. Prin urmare, funcțiile trigonometrice sunt:
  • sin π / 4 = 1 / (√2)
  • cos π / 4 = 1 / (√2)
  • tan π / 4 = 1
  • csc π / 4 = √2
  • sec s / 4 = √2
  • pat de copil π / 4 = 1
  • 11
    Aflați ce unghi de referință să utilizați. În acest moment ați găsit deja valorile trigonometrice ale celor trei unghiuri de referință speciale - totuși acestea sunt toate în primul cvadrant. Dacă aveți nevoie să obțineți funcțiile unui unghi special sau mai mare, trebuie mai întâi să determinați care unghiuri de referință aparțin aceleiași familii. De exemplu, familia unghiului π / 3 constă în unghiurile 2π / 3, 4π / 3 și 5π / 3. O regulă generală este să reducem la minimum fracțiunea care exprimă unghiul și apoi să privim numitorul.
  • Dacă este 3, va fi în familia π / 3
  • Dacă este 6, va fi în familia π / 6
  • Dacă este 2, va fi în familia π / 2
  • Dacă nu are nici un numitor, cum ar fi π sau 0, acesta va fi în familia π
  • Dacă este 4, va fi în familia π / 4
  • 12
    Învățați să înțelegeți dacă valoarea este pozitivă sau negativă. Toate unghiurile aparținând aceleiași familii vor avea, în valoare absolută, aceleași valori trigonometrice ale unghiului de referință - totuși, două dintre ele vor fi pozitive, iar celelalte două negative.
  • Dacă unghiul este în Quadrantul I, toate valorile funcțiilor trigonometrice vor fi pozitive.
  • Dacă unghiul este în Quadrantul II, toate valorile funcțiilor trigonometrice vor fi negative, cu excepția păcatului și csc.
  • Dacă unghiul este în Quadrantul III, toate valorile funcțiilor trigonometrice vor fi negative, cu excepția bronzului și patului.
  • Dacă unghiul este în Cadrul 4, toate valorile funcțiilor trigonometrice vor fi negative, cu excepția cos și sec.
  • Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit