Cum se rezolvă ecuațiile diferențiale

Într-un curs pe ecuații diferențiale

paşi

Metoda 1

2

Identificați ordinea și gradul ecuației diferențiale. L `comandă a unei ecuații diferențiale este determinată de cel mai înalt derivat - il grad este dată de puterea cea mai mare a unei variabile. De exemplu, ecuația diferențială prezentată în Figura 1 este al doilea și al treilea grad.

Metoda 2

2

Dacă variabilele nu pot fi separate, verificați dacă este o ecuație diferențială omogenă. O ecuație diferențială M dx + N dy = 0 este omogenă dacă substituția x și y cu λx și λy are ca rezultat funcția inițială înmulțită cu o putere de λ, unde puterea λ este definită ca gradul funcției inițiale. Dacă este cazul dvs., urmați pașii de mai jos. A se vedea figura 3 ca exemplu.

3

Dacă ecuația diferențială nu poate fi rezolvată utilizând cele două metode explicate mai sus, încercați să o exprimați ca o ecuație liniară, în forma dy / dx + Py = Q, unde P și Q sunt funcții de numai x sau sunt constante. Rețineți că aici x și y pot fi folosite interschimbabil. Dacă da, continuați după cum urmează. A se vedea figura 4 ca exemplu.

4

Rezolvați ecuația Bernoulli: dy / dx + p (x) y = q (x) yⁿ, după cum urmează:

Metoda 3

3

Pentru a rezolva o ecuație diferențială liniară mai generală, verificați dacă ecuația diferențială satisface forma prezentată în ecuația (1) din figura 7. În acest caz, ecuația diferențială poate fi rezolvată urmând pașii următori. Pentru un exemplu, consultați pașii din Figura 7.

Soluția completă a lui (1) este dată de y = u + v.

Metoda 4

2

Rezoluția ecuațiilor diferențiale liniare ale ordinii n-a cu coeficienți constanți: Verificați dacă ecuația diferențială satisface forma din ecuația (1) din Figura 9. Dacă da, ecuația diferențială poate fi rezolvată după cum urmează:

3

Pentru a rezolva o ecuație diferențială liniară a ordinii n-a ordinii generale, verificați dacă ecuația diferențială satisface forma prezentată în ecuația (1) din Figura 10. În acest caz, ecuația diferențială poate fi rezolvată printr-o metodă similară cu cea utilizată pentru a rezolva ecuațiile diferențiale liniare de ordinul doi, după cum urmează:

• Rețineți că Legea privind interesele compuse se aplică în multe domenii ale vieții de zi cu zi. De exemplu, să presupunem că dorim să diluăm o soluție salină adăugând apă pentru a reduce concentrația de sare. Cât de multă apă trebuie să adăugați și cum variază concentrația soluției în funcție de viteza de rulare a apei?
  
  Hai s = cantitatea de sare din soluție, în orice moment, x = cantitatea de apă a trecut în soluție și v = volumul soluției. Concentrația de sare din amestec este dată de s / v. Acum, să presupunem că un volum AX iese din soluție, astfel încât cantitatea de sare vărsat atât (s / v) AX, din care modificarea cantității de sare, Δs, este dat de Δs = - (s / v) AX. Împărțiți ambele părți cu Δx, pentru a da Δs / Δx = - (s / v). Luați limita ca Δx-->0 și veți avea ds / dx = -s / v, care este o ecuație diferențială sub forma legii privind interesele compuse, unde aici y este s, t este x și k este -1 / v.
• 
  Legea de răcire a lui Newton este o altă variantă a legii compuse. Afirmă că viteza de răcire a unui corp în raport cu temperatura mediului înconjurător este proporțională cu diferența dintre temperatura corpului și cea a mediului înconjurător. Fie x = temperatura corpului în exces față de mediul înconjurător, t = timpul - vom avea dx / dt = kx, unde k este o constantă. Soluția pentru această ecuație diferențială este x = c și c (kt), unde c este o constantă arbitrară, ca mai sus. Să presupunem că temperatura excesivă, x, a fost la început de 80 de grade și a scăzut la 70 de grade după un minut. Cum va fi după 2 minute?
  
  Date t = timp, x = temperatura în grade, vom avea 80 = ce ^ (k * 0) = c. Mai mult, 70 = ce ^ (k * 1) = 80e ^ k, deci k = ln (7/8). Rezultă că x = 70e ^ (ln (7/8) t) este o soluție specială la această problemă. Acum introduceți t = 2, veți avea x = 70e ^ (ln (7/8) * 2) = 53,59 grade după 2 minute.
• 
  Diferite straturi ale atmosferei în ceea ce privește creșterea la altitudine deasupra nivelului măriiÎn termodinamică, presiunea atmosferică p deasupra nivelului mării se schimbă proporțional cu altitudinea h deasupra nivelului mării. Și aici este o variantă a legii de interes compuse. Ecuația diferențială în acest caz este dp / dh = kh, unde k este o constantă.
• 
  În chimie, viteza unei reacții chimice, în care x este cantitatea transformată într-o perioadă t, este rata temporală a schimbării lui x. Având a = concentrația la începutul reacției, atunci dx / dt = k (a-x), unde k este constanta de viteză. Aceasta este, de asemenea, o variantă a legii privind interesele compuse, unde (a-x) este acum o variabilă dependentă. Fie d (a-x) / dt = -k (a-x), deci d (a-x) / (a-x) = -kdt. Integra, pentru a da ln (a-x) = kt + o, având în vedere că o x = a, atunci când t = 0. Rearanjarea, descoperim că ln viteză constantă k = (1 / t) (a / (a-x)).
• 
  electromagnetism, dat fiind un circuit electric cu o tensiune V și un curent (ampere), tensiunea V el suferă o reducere atunci când depășește rezistența R (ohmi) de circuit și de inducție L, conform ecuației V=iR + L (di / dt), sau di / dt = (V - iR) /L. Aceasta este, de asemenea, o variantă a legii de interes compuse unde V - iR este acum variabila dependentă.
• 
  În acustică, o vibrație armonică simplă are o accelerație direct proporțională cu valoarea negativă a distanței. Amintim că accelerația este al doilea derivat al distanței, atunci d²s/dt² + k²s = 0, unde s = distanță, T = timp, și k² este măsura accelerației la distanța unitară. Este vorba despre simplă ecuație armonică, o ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți, așa cum s-a rezolvat în figura 6, ecuațiile (9) și (10). Soluția este s = c₁cos kt + c₂sin kt.
  
  Acesta poate fi simplificat în continuare prin stabilirea c₁ = b sin A, c₂ = b cos A. Înlocuiți-le pentru a obține b sin A cos kt + b cos A sin kt. Din trigonometrie știm că păcatul (x + y) = păcatul x cos y + cos x sin sin, astfel încât expresia este redusă la s = b sin (kt + A). Valul care urmează ecuației armonice simple oscilează între b și -b cu o perioadă de 2π /k.
• 
  primăvară: să luăm un obiect masiv m conectat la un resort. Conform legii lui Hooke, atunci când primăvara se prelungește sau se comprimă s unitate în raport cu lungimea inițială (denumită și poziție de echilibru), exercită o forță de refacere F proporțional cu s, sau F = -k²s. Conform celei de-a doua legi a lui Newton (forța este egală cu produsul de masă pentru accelerare), vom avea m d²s/dt² = -k²s, sau m d²s/dt² + k²s = 0, care este o expresie a ecuației armonice simple.
• 
  Armura și arcul spate al unei motociclete BMW R75 / 5Vibrații moi: considerați primavara în vibrații ca mai sus, cu o forță de amortizare. Orice efect, cum ar fi forța de frecare, care tinde să reducă amplitudinea oscilațiilor într-un oscilator, se numește o forță de amortizare. De exemplu, o forță de amortizare este asigurată de un armotizator al unui automobil. În general, forța de amortizare, F_d, este aproximativ proporțională cu viteza obiectului, adică F_d = -c² ds / dt, unde c² este o constantă. Prin combinarea forței de amortizare cu forța de recuperare, vom avea -k²s - c² ds / dt = m d²s/dt², în conformitate cu a doua lege a lui Newton. sau, m d²s/dt² + c² ds / dt + k²s = 0. Această ecuație diferențială este o ecuație liniară de ordinul doi care poate fi rezolvată prin rezolvarea ecuației auxiliare mr² + c²r + k² = 0, după înlocuire s = e ^ (rt).
  Rezolvați cu formula quadratică r₁ = (-c²+ sqrt (c⁴- 4mk²)) / 2m- r₂= (-c² - sqrt (c⁴ - 4mk²)) / 2m.
• Sovrasmorzamento: Dacă c⁴ - 4mk² > 0, r₁ și r₂ ele sunt reale și distincte. Soluția este s = c₁e ^ (r₁T) + c₂e ^ (r₂T). Având în vedere acest lucru c², m, și k² ele sunt pozitive, sqrt (c⁴ - 4mk²) trebuie să fie mai mică de c², ceea ce implică faptul că ambele rădăcini, r₁ și r₂, ele sunt negative, iar funcția este degradantă exponențial. În acest caz, nu are loc o oscilație. O forță de amortizare puternică, de exemplu, poate fi dată de un ulei cu viscozitate ridicată sau un lubrifiant.
• Amortizarea critică: Dacă c⁴ - 4mk² = 0, r₁ = r₂ = -c² / 2m. Soluția este s = (c₁ + c₂t) e ^ ((- c²/ 2m) t). Și asta este o decădere exponențială, fără oscilație. Cea mai mică scădere, totuși, în forța de amortizare va determina obiectul să oscileze odată ce punctul de echilibru este depășit.
• Sottosmorzamento: Dacă c⁴ - 4mk² < 0, rădăcinile sunt complexe, date de -c / 2m +/ - ω, unde ω = sqrt (4mk² - c⁴)) / 2m. Soluția este s = e ^ (- (c²/ 2m) t) (c₁ cos ωT + c₂ sin. ωT). Este o oscilație atenuată de factorul e ^ (- (c²/ 2m) t. Având în vedere acest lucru c² și m ambele sunt pozitive și ^ (- (c²/ 2m) t) va avea tendința de a zero atunci când T se apropie de infinit. Rezultă că, mai devreme sau mai târziu, bicicleta se va descompune la zero.

Sfaturi

• Înlocuiți soluția în ecuația diferențială inițială pentru a vedea că ecuația este satisfăcută. În acest fel, puteți verifica dacă soluția este corectă.
• Notă: Se invocă inversul calculului diferențial calculul integral, care se referă la suma cantității de efecte care schimba continuamente- de exemplu, calculul distanței (a se compara cu d = rt) acoperit de un obiect a cărui instantanee schimbări (viteză) într-un interval de timp sunt cunoscute.
• Multe ecuații diferențiale nu pot fi rezolvate prin metodele descrise mai sus. Metodele de mai sus, totuși, sunt suficiente pentru a rezolva multe ecuații diferențiale comune.