gtemata.com

Cum se calculează derivatele în analiza matematică

Derivații pot fi utilizați pentru a obține cele mai interesante caracteristici ale unei diagrame, cum ar fi maximele, minima, vârfurile, văile și versanții. Puteți chiar să desenați ecuații complexe fără un calculator de grafică! Din păcate, obținerea derivatului este adesea plictisitoare, dar acest articol vă va ajuta cu câteva sfaturi și trucuri.

paşi

1
Încercați să înțelegeți notația derivatului. Următoarele două notații sunt cele mai frecvente, chiar dacă există și alte nenumărate:
  • Notație Leibniz: această notație este mai frecventă atunci când ecuația implică y și x.
    dy / dx înseamnă literalmente "derivatul lui y cu privire la x". Poate fi util să gândiți derivatul ca Δy / Δx pentru valorile lui x și y care sunt infinite diferite de ele. Această explicație este potrivită pentru definirea limitei unui instrument derivat:
    lim h->0 (f (x + h) - f (x)) / h.
    Când utilizați această notație pentru al doilea derivat, trebuie să scrieți:
    dy2 / dx2.
  • Notația Lagrange: derivatul unei funcții f este de asemenea scris ca f `(x). Această notație este pronunțată "f primul de x". Această notație este mai scurtă decât cea din Leibniz și este utilă în căutarea derivatului unei funcții. Pentru a forma derivații de ordin superior, trebuie doar să adăugați un alt semn " ` " deci al doilea derivat devine f " (X).
  • 2
    Încercați să înțelegeți care este derivatul și de ce este utilizat. Mai întâi, pentru a găsi panta unui grafic liniar, luați două puncte pe linie și coordonatele lor care trebuie introduse în ecuația (y2 - y1) / (x2 -x1). Cu toate acestea, acest lucru poate fi folosit numai cu diagrame liniare. Pentru ecuațiile de gradul mai înalt și mai mare, linia este curbată, deci nu este corect să luați "diferență" a celor două puncte. Pentru a găsi panta tangentei unei curbe linie grafic, acestea iau două puncte și le conectează cu ecuația standard pentru a găsi panta unei curbe diagramă: [f (x + dx) - f (x)] / dx. DX înseamnă "delta x", care este diferența dintre cele două coordonate x ale celor două puncte ale graficului. Rețineți că această ecuație este aceeași cu (y2 - y1) / (x2 - x1), dar este doar într-o formă diferită. Deoarece se știe deja că rezultatul va fi imprecis, se aplică o abordare indirectă. Pentru a găsi panta tangentei la punctul generic al coordonatelor (x, f (x)), dx trebuie să se apropie de 0, astfel încât cele două puncte care au fost luate "fondat" într-un singur loc. Cu toate acestea, nu este posibil să se împartă cu 0, deci, după înlocuirea valorilor coordonatelor celor două puncte, va fi necesar să se folosească factorizarea și alte metode pentru a simplifica dreptul la numitorul ecuației. După ce ați terminat, setați dreptul la 0 și rezolvați. Aceasta este panta tangentei la punctul de coordonate (x, f (x)). Derivatul unei ecuații este ecuația generală de a găsi panta sau coeficientul unghiular al oricărei linii tangente la un grafic. Acest lucru poate suna foarte complicat, dar există câteva exemple de mai jos care vor ajuta la clarificarea modului de obținere a derivatului.

    • Metoda 1

    Explicație derivată
    1
    Utilizați derivarea explicită atunci când ecuația are deja y pe o parte a egalității.
  • 2
    Introduceți ecuația cu formula [f (x + dx) - f (x)] / dx. De exemplu, dacă ecuația este y = x2, derivatul devine [(x + dx) 2 - x2] / dx.
  • 3
    Multiplicați și apoi colectați dreptul de a forma ecuația [dx (2 x + dx)] / dx. Acum puteți simplifica corect între numitor și numitor. Rezultatul este 2 x + dreapta și, atunci când dreapta tinde la 0, derivatul este de 2x. Aceasta înseamnă că panta fiecărei tangente a grafului y = x 2 este de 2x. Doar înlocuiți valoarea lui x cu abscisa punctului în care doriți să găsiți panta.
  • 4
    Aflați modele pentru a obține ecuații similare. Iată câteva.
  • Derivatul oricărei puteri este numitorul puterii înmulțit cu x ridicat la valoarea puterii minus 1. De exemplu, derivatul x5 este de 5 ori4 și derivatul lui x3.5 este de 3,5 ori2.5. Dacă există deja un număr în fața lui x, înmulțiți-l doar cu exponentul puterii. De exemplu, derivatul de 3x4 este de 12 ori3.
  • Derivatul unei constante este zero. Astfel, derivatul lui 8 este 0.
  • Derivatul unei sume este suma derivatelor sale individuale. De exemplu, derivatul lui x3 + 3x2 este de 3 ori2 + 6x.
  • Derivatul unui produs este derivatul primului factor pentru cel de-al doilea plus derivatul celui de-al doilea pentru primul. De exemplu, derivatul lui x3(2 x + 1) este x3(2) + (2 x 1) 3x2, egal cu 8x3 + 3x2.
  • Și în final derivatul unui coeficient (adică f / g) este [g (derivat al f) - f (derivat de g)] / g2. De exemplu, derivatul (x2 + 2x - 21) / (x - 3) este (x2 - 6x + 15) / (x-3)2.

    • Metoda 2

    Determinarea implicită
    1
    Se folosește derivarea implicită atunci când ecuația nu poate fi scrisă ușor cu y pe o singură parte a egalității. Chiar dacă ați reușit să scrieți cu y pe o parte, calculul dy / dx ar fi plictisitor. Mai jos este un exemplu despre cum am putea rezolva acest tip de ecuație.


  • 2
    În acest exemplu, x2y + 2y3 = 3x + 2y, înlocuiți y cu f (x), deci vă veți aminti că y este de fapt o funcție. Deci, ecuația devine x [f (x)]2 + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
  • 3
    Pentru a găsi derivatul acestei ecuații, acesta diferențiază (un cuvânt mare pentru a găsi derivatul) ambele părți ale ecuației cu privire la x. Deci, ecuația devine x2f `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f `(x) = 3 + 2f` (x).
  • 4
    Înlocuiți f (x) din nou cu y. Aveți grijă să nu faceți același lucru cu f `(x), care este diferit de f (x).
  • 5
    Rezolvați pentru f `(x). Răspunsul pentru acest exemplu este (3 - 2xy) / (x 2 + 6Y 2 - 2).

    • Metoda 3

    Derivații ordinului superior
    1
    Efectuarea unui derivat cu o ordine superioară a unei funcții înseamnă doar a face derivatul derivatului (pentru comanda 2). De exemplu, dacă vi se cere să calculați derivatul de ordinul trei, trebuie doar să faceți derivatul derivatului derivatului. Pentru unele ecuații, derivatele cu cea mai mare ordine fac 0.

    Metoda 4

    Regulile lanțului
    1
    Atunci când y este o funcție diferențiabilă, z este o funcție diferențiabilă x, y este o funcție x compozit și derivata y în raport cu x (dy / dx) este (dy / du) * (dv / dx). Norma lanțului poate fi, de asemenea, valabilă pentru ecuațiile puterii compuse (putere), astfel: (2x4 - x)3. Pentru a găsi derivatul, gândiți-vă la regula produsului. Multiplicați ecuația cu puterea și micșorați puterea de 1. Apoi multiplicați ecuația cu derivatul părții interioare a puterii (în acest caz, 2x4 - x). Răspunsul la această problemă este 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).

    Sfaturi

    • Derivatul yz (unde y și z sunt ambele funcții) nu este pur și simplu 1, deoarece y și z sunt funcții separate. Utilizați regula produsului: yz = y (1) + z (1) = y + z.
    • Practica regula produsului, regula câtul, regula de lanț și în special diferențierea implicită, deoarece acestea sunt de departe cele mai dificile din analiza diferențială.
    • Ori de câte ori vedeți o problemă enormă de rezolvat, nu vă faceți griji. Doar încercați să o rupeți în bucăți foarte mici prin aplicarea standardelor de produs, a coeficientului etc. Apoi părțile individuale derivă.
    • Cunoașteți bine calculatorul dvs.: încercați diferite funcții ale calculatorului dvs. pentru a afla cum să le utilizați. Este deosebit de util să știți cum să utilizați funcțiile tangente și derivate ale calculatorului, dacă există.
    • Memorați derivatele de bază ale trigonometriei și aflați cum să le manipulați.

    Avertismente

    • Nu uitați semnul minus în fața lui f pentru derivatul lui g atunci când utilizați regula de coeficient: este o greșeală obișnuită și uitați că vă va da un răspuns greșit!
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit