gtemata.com

Cum să obțineți o matrice transpusă

Matricea transpusă este un instrument precis și precis pentru înțelegerea și studierea structurii matricelor. Unele proprietăți ale matricelor pe care le cunoașteți deja, cum ar fi simetria și ortogonalitatea, influențează de asemenea modul în care se obține matricea transpusă. Acesta din urmă este util în diverse scopuri, de exemplu atunci când este necesar să se exprime un vector sub forma unei matrice sau să se facă produsul între doi vectori. Dacă vă confruntați cu o problemă cu matrice complexe, conceptul unei matrice transpuse de conjugat va fi de mare ajutor în identificarea soluției.

paşi

Partea 1

Calculați Transpunerea unei matrice
Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 1
1
Începeți prin analizarea oricărei matrice. Puteți transpune orice matrice, indiferent de numărul de rânduri sau coloane din care este compusă. Matricele pătrate, caracterizate prin aceea că au același număr de rânduri și coloane, sunt cele care sunt transpuse mai frecvent, astfel încât, ca exemplu, să pornim de la o matrice pătrată simplă:
  • Matricea A =
    1 2 3
    4 5 6
    7 8 9
  • Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 2
    2
    Prima coloană a matricei transpuse va fi compusă din primul rând al matricei de exemplu A. Apoi continuați să rescrieți primul rând al matricei inițiale ca prima coloană a relației transpuse:
  • Matricea transpusă a lui A este indicată prin următoarea notație:T;
  • Prima coloană a matricei AT va fi, prin urmare, egal cu:
    1
    2
    3.
  • Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 3
    3
    Aplicați mecanismul descris în pasul anterior pentru toate celelalte linii rămase. Aplicând același concept vom obține că al doilea rând al matricei inițiale va deveni a doua coloană a matricei transpuse. Continuați urmând același tipar până când toate rândurile matricei originale au fost transformate în coloane:
  • Matricea AT =
    1 4 7
    2 5 8
    3 6 9
  • Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 4
    4
    Calculează transpunerea unei matrice non-pătrată. Mecanismul de utilizare este același pentru matricea pătrată, adică primul rând al matricei inițiale va deveni prima coloană a celei transpuse, al doilea rând va deveni a doua coloană și așa mai departe. Iată un exemplu de culoare pentru a înțelege mai bine modul în care sunt organizate elementele matricei originale și cele transpuse:
  • Matricea Z =
    4 7 2 1
    3 9 8 6
  • Matricea ZT =
    4 3
    7 9
    2 8
    1 6
  • Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 5
    5
    Descrieți conceptul de transpunere matematic. Este o noțiune destul de simplă, dar este bine să știm cum să o exprimăm matematic. Pentru a folosi notația de bază a matricelor, nu este necesar să cunoașteți niciun jargon tehnic specific:
  • Dacă matricea B este o matrice m x n (în cazul în care m indică numărul de linii e n numărul de coloane), matricea BT va fi o matrice n x m (în cazul în care n indică numărul de linii e m numărul de coloane).
  • Pentru fiecare element bxy (în cazul în carex este numărul de linie e y numărul coloanei) al matricei B, matricea BT acesta va avea o egalitate bYX (în cazul în care y este numărul de linie e x numărul coloanei).

    • Partea 2

    Cazuri speciale
    Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 6
    1


    (MT)T = M. Această notație indică pur și simplu că transpunerea unei matrice transpuse are ca rezultat matricea originală. Acesta este un concept destul de intuitiv dat fiind faptul că singurul proces de urmat este transformarea rândurilor în coloane. Dacă transformăm liniile unei matrice transpuse în coloane, este evident că vom obține exact matricea de la care am pornit.
  • Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 7
    2
    Rotiți o matrice pătrată de 180 ° față de diagonala principală. Atunci când se studiază o matrice pătrată, transpoziția relativă va fi matricea obținută "cotitură" cel original de 180 ° față de diagonala principală. Cu alte cuvinte, toate elementele care alcătuiesc diagonala principală, adică cele care merg din poziția a11 până la colțul din dreapta jos va rămâne neschimbată, în timp ce toate celelalte vor fi inversate cu cele care ocupă poziția opusă față de diagonală.
  • Dacă nu puteți vedea mecanismul descris în mintea dvs., începeți prin a desena o matrice pătrată de 4x4 pe o bucată de hârtie. Acum, pliați foaia în sine urmând diagonala principală a matricei. După cum vedeți elementul a14 este suprapusă pe elementul a41. În matricea transpusă, aceste două elemente vor fi inversate, precum și toate celelalte elemente care sunt suprapuse.
  • Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 8
    3
    Transformați o matrice simetrică. O matrice se numește simetrică atunci când elementele separate de diagonala principală sunt identice. Cu alte cuvinte, folosind exemplul practic al foii îndoite în raport cu diagonala principală, în cazul unei matrice simetrice, vom înțelege imediat că matricea originală este exact identică cu cea transpusă. Toate elementele care se suprapun și care trebuie inversate în poziție se dovedesc a fi identice. În realitate, aceasta este metoda standard utilizată pentru a defini o matrice simetrică. Dacă matricea A este egală cu matricea AT, înseamnă că matricea de pornire este simetrică.

    • Partea 3

    Matricea transpusă a unei matrice complexe
    Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 9
    1
    Să începem cu o matrice complexă. O matrice complexă este compusă din numere reale și imaginare. Chiar dacă matricea transpusă a matricei complexe poate fi obținută urmând procedura descrisă mai sus, în majoritatea cazurilor reale va fi necesară utilizarea matricei transpuse conjugate.
    • Matricea C =
      2+ 3-2
      0+ 5 + 0
  • Imaginea intitulată Transpunerea unei matrice Pasul 10
    2
    Calculați matricea complexă a conjugatului. În acest caz, semnul elementelor care intră în setul de numere imaginare este schimbat fără a schimba partea reală. Efectuați acest pas pentru toate elementele matricei originale.
  • Matricea complexă conjugată a lui C =
    2- 3 + 2
    0- 5-0
  • Imaginea intitulată Transpunerea unui pas matrice 11
    3
    Acum calculați matricea transpusă a celei obținute în etapa anterioară. Urmați procedura descrisă în secțiunea anterioară a articolului pentru a obține matricea transpusă. Matricea pe care o vom obține va corespunde matricei transpuse conjugat a matricei originale.
  • Matricea conjugată transpusă a lui C = CH =
    2- 0-
    3 + 2 5-0

    • Sfaturi

    • Acest articol utilizează notația AT pentru a indica matricea transpusă a matricei originale A. Alternativ, următoarele denumiri pot fi folosite pentru a indica același concept: A `sau Ã.
    • În acest articol matricea conjugată a matricei A este indicată cu notația AH care este de asemenea cea mai utilizată în algebra liniară. Fizicienii quantum preferă adesea să utilizeze următoarea notație: A†. Alternativ, puteți folosi și următoarele: A *, totuși este mai bine să evitați să folosiți această simbolologie deoarece unele surse utilizează aceasta pentru a indica matricea complexă a conjugatului.
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit