Cum să înțelegeți calculul infinite

Calculul infinitezimal este o ramură a matematicii care studiază în principal conceptele de limită, funcție, derivate, serii integrale și infinite. Această ramură constituie cea mai importantă parte a matematicii și este baza multor ecuații care descriu fenomenele fizice și mecanice. Pentru a înțelege pe deplin calculul infinitezimal, ar trebui să faceți un curs universitar, dar acest articol este un început bun și vă ajută să dezintegrați conceptele importante și pașii tehnici.

conținut

Paşi
Partea 1
Partea 2
Partea 3
Sfaturi

paşi

Partea 1

Examinați elementele de bază

Știți că calculul infinitezimal este studiul modului în care se schimbă lucrurile. Este o ramură a matematicii care observă numerele și liniile care aparțin în mod obișnuit lumii reale și încearcă să descrie modul în care se schimbă. Deși la prima vedere poate părea o analiză cu puțină utilizare, calculul infinitezimal este, în schimb, unul dintre cele mai aplicate ramuri ale matematicii din lume. Imaginați-vă că aveți instrumentele de care aveți nevoie pentru a înțelege cât de rapid crește volumul afacerii dvs. în orice moment sau care vă permite să înregistrați o navă spațială și să înțelegeți cât de repede consumă combustibil. În acest moment este evident că este un mijloc fundamental în inginerie, economie, statistică, chimie și fizică și care a permis realizarea multor invenții și descoperiri ale lumii reale.

Amintiți-vă că funcțiile sunt relații între două numere și sunt folosite pentru a descrie rapoartele numerice în lumea reală. Acestea sunt regulile respectate de numerele corelate, iar matematicienii le reprezintă cu grafice. Într-o funcție, fiecare dată introdusă duce la un rezultat. De exemplu, în funcția y = 2x + 4, pentru fiecare valoare atribuită "x" corespunde unei noi valori "y". Dacă x = 2, atunci y = 8, dacă x = 10, atunci y = 24. Toate studiile calculului infinitezimal se concentrează pe funcții pentru a înțelege modul în care se schimbă și apoi le aplică relațiilor din lumea reală.

Funcțiile sunt adesea scrise respectând acest tip de notație: f (x) = x + 3. Aceasta înseamnă că funcția, f (x), se așteaptă să adauge valoarea 3 pentru fiecare valoare a lui x. Dacă doriți să atribuiți valoarea 2 variabilei x, atunci trebuie să scrieți: f (2) = 2 + 3 care este f (2) = 5.

Cu toate acestea, funcțiile pot descrie relații mult mai complexe. NASA, de exemplu, a dezvoltat funcții care să permită înțelegerea vitezei unei rachete pe baza cantității de combustibil consumat, a rezistenței la vânt și a greutății navei spațiale.

Gândiți-vă la conceptul de infinit. Puteți să o asociați cu repetarea continuă și fără sfârșit a unui proces. Acesta nu este un loc specific (nu puteți ajunge la infinit), ci comportamentul unui număr sau al unei ecuații care este calculat în mod continuu. Acesta este un factor foarte important pentru a studia schimbarea: poate că vrei să știi viteza mașinii în orice moment, cu toate acestea dat, înseamnă că vrei să știi viteza unui anumit al doilea, al unui milisecundă sau o nanosecundă? Puteți calcula viteza mașinii pentru intervale de timp infinit mai mici și mai scurte pentru a fi extrem de precise. Acesta este momentul în care vă ajută calculul infinitezimal.

Înțelegeți conceptul de limită. Limita vă informează despre ce se întâmplă atunci când un proces este aproape de infinit. De exemplu, luați numărul 1 și împărțiți-l cu 2. Apoi continuați să împărțiți rezultatul cu 2. Numărul 1 va deveni 1/2, apoi 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 și așa mai departe. Cu fiecare trecere, coeficientul este întotdeauna mai mic "se apropie" la zero. Dar cum se va termina? De câte ori trebuie să împărțiți 1 la 2 pentru a obține 0? În calculul infinitezimal, în loc să răspundeți la această întrebare, impuneți a limită. În cazul acestui exemplu, limita este lim = 0.

Limitele sunt afișate cu ușurință pe o diagramă - de exemplu, există puncte la care graficul este foarte aproape fără să le atingeți vreodată?

Limitele pot fi un număr, zero sau infinit. De exemplu, dacă continuați cu suma 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... infinit, numărul dvs. final va fi infinit de mare. În acest caz, limita ar fi infinită.

Revedeți conceptele esențiale ale algebrei, trigonometriei și analizei matematice simple. Calculul infinitezimal se bazează pe toate cunoștințele matematice pe care le-ați învățat pe parcursul studiului. Dacă știți perfect fundațiile, atunci va fi mult mai ușor să învățați și să înțelegeți această ramură. Iată câteva subiecte pe care ar trebui să le examinați:

algebră. Înțelegeți diferitele procese și învățați să rezolvați ecuațiile și sistemele de ecuații cu mai multe variabile. Revedeți conceptele de bază ale seturilor și compilați ecuațiile.

Geometrie. Această ramură a matematicii studiază formele geometrice. Examinați caracteristicile și proprietățile triunghiurilor, dreptunghiurilor și cercurilor - formule de studiu pentru calcularea perimetrului și a suprafeței. Asigurați-vă că cunoașteți unghiurile, liniile și sistemele de referință.

trigonometrie. Această ramură a matematicii se ocupă de proprietățile circumferințelor și ale triunghiurilor dreptunghiulare. Învățați să utilizați identități trigonometrice, să manipulați grafice inverse, funcții și funcții trigonometrice.

Cumpărați un calculator pentru grafic. Este foarte greu să înțelegi calculul infinitezimal fără să vezi ce faci. Calculatoarele grafice transformă funcțiile în grafice și vă ajută să înțelegeți mai bine munca pe care o faceți. Puteți stabili adesea limite pe ecran și puteți calcula automat derivate și funcții.

Multe smartphone-uri și tablete vin cu aplicații ieftine, dar eficiente, dacă nu doriți să cumpărați un anumit calculator.

Partea 2

Înțelegerea derivatelor

Aflați cum se folosește calculul infinitezimal pentru a studia "variație instantanee". Scopul principal al acestei ramuri de matematică este de a înțelege de ce se schimbă ceva într-un moment precis. De exemplu, puteți înțelege nu numai viteza unei mașini, dar puteți analiza, de asemenea, variația vitezei la un moment dat. Aceasta este una dintre cele mai simple exemple în care utilizând infinitesimale- de calcul cu toate acestea, este extrem de important: imaginați-vă cât de util este să știe aceste informații despre o navă spațială care încearcă să ajungă pe Lună!

Găsirea variației instantanee este un proces numit derivare. Calculul diferențial este primul dintre cele două seturi principale care compun calculul infinitezimal.

Utilizați derivați pentru a înțelege modul în care o funcție se modifică la un moment dat. Termenul "derivat" poate fi un pic ciudat și poate declanșa o anumită anxietate. Conceptul care stă la baza nu este totuși dificil de asimilat - în practică înseamnă "cat de repede se schimba datele". Cel mai obișnuit derivat cu care ne confruntăm în fiecare zi este relativ la viteză. Probabil că nu o sunați "derivat de viteză" dar "accelerare".

Accelerația este un derivat care vă spune cât de repede un obiect crește sau scade viteza, astfel modifică viteza acestuia.

Aflați că derivatul reprezintă și panta (coeficientul unghiular) între două puncte din grafic. Aceasta este una dintre constatările cheie ale calculului infinitezimal. Derivatul dintre două puncte corespunde pantei liniei care le unește. Gândiți-vă la o linie comună, cum ar fi cea identificată de funcția y = 3x. În acest caz, coeficientul unghiular este egal cu 3, ceea ce înseamnă că atunci când schimbați x, y variază de 3 ori. Panta corespunde derivatului: un coeficient unghiular egal cu 3 înseamnă că linia se schimbă de 3 ori cu fiecare variație de x. Când x = 2, y = 6 - când x = 3, y = 9.

Coeficientul unghiular al unei linii este egal cu variația lui y împărțită prin variația lui x.

Cu cât este mai mare pantă și mai mult "vertical" este linia dreaptă. În general, se poate spune că liniile drepte cu un coeficient unghiular ridicat variază "mai repede".

Examinați cum să găsiți coeficientul unghiular al unei linii dacă nu-l amintiți.

Amintiți-vă că puteți găsi panta chiar și a unei curbe. Când vine vorba de liniile drepte, calculul pantei este destul de simplu: cât de mult se schimbă valoarea lui y cu schimbarea lui x? În ecuațiile cu linii curbe, calculul devine mai complex, de exemplu cu y = x². Puteți găsi în continuare panta între oricare două puncte, trebuie doar să desenați linia care le unește și să calculați coeficientul unghiular.

De exemplu, în y = x², puteți alege două puncte și puteți calcula panta. Luați în considerare punctele cu coordonatele (1-1) și (2-4). În acest caz, coeficientul unghiular este egal cu (4-1) / (2-1) = 4/2 = 2. Aceasta înseamnă că raportul de variație între x = 1 și x = 2 este 2.

Pentru a găsi o pantă mai precisă, aduceți punctele mai strânse. Mai mică distanța care le separă este cu cât este mai exactă valoarea. Să presupunem că doriți să știți cât de repede mașina accelerează imediat după ce ați apăsat pedala de accelerație. Nu vrei să știi schimbarea de viteză care a avut loc pe drumul dintre casă și supermarket, dar vrei să știi ce sa schimbat în viteza instantanee, imediat după presiune pe pedala de accelerație. Cu cât măsurarea se apropie de momentul în care doriți să vă gândiți și cu cât este mai precis.

De exemplu, oamenii de știință studiază cât de repede se sting unele animale în încercarea de a le salva. Cu toate acestea, animalele au o rată de mortalitate mai mare în timpul iernii decât all`estate- apoi se poate studia viteza medie la care specimenele dispar în cursul anului nu este un dat oamenii de știință useful- trebuie să cunoască rata de mortalitate într-un interval mai scurtă - de exemplu, de la 1 iulie până la 1 august.

Găsiți linii infinit de mici pentru a găsi "variație instantanee", sau derivat. Aceasta este faza în care calculul infinitezimal poate provoca un pic de confuzie, dar în realitate este rezultatul a două fapte simple. Mai întâi știi că coeficientul unghiular al unei linii este egal cu viteza cu care se schimbă. În al doilea rând, știți că cele două puncte considerate sunt mai apropiate și cu cât vor fi mai precise datele. Dar cum este posibil să găsim pantă într-un punct dacă aceasta este relația dintre variațiile a două puncte? Calculul infinitezimal este răspunsul dvs.: alegeți două puncte infinit apropiate unele de altele.

Gândiți-vă la exemplul în care ați încercat să împărțiți infinit 1 până la 2, obținând: 1/2, 1/4, 1/8 și așa mai departe. În final, veți ajunge foarte aproape de zero și soluția ar putea fi "practic zero". În acest caz cele două puncte sunt atât de apropiate încât sunt "în practică, nu se disting". Aceasta este natura derivatului.

Aflați pentru a calcula diferitele tipuri de instrumente financiare derivate. Există multe tehnici care vă permit să găsiți derivați și depindeți de tipul de ecuație - totuși, majoritatea acestora nu ar trebui să fie o problemă, dacă vă aduceți aminte de principiile de bază ale derivatelor descrise mai sus. Amintiți-vă că fiecare derivat este o modalitate de a găsi panta unei linii "infinit de mică". Acum că știți teoria, o mulțime de lucruri găsesc soluțiile.

Găsiți derivația ecuațiilor pentru a prezice variația la fiecare punct. Utilizarea derivatelor în acest scop este foarte utilă, dar frumusețea calculului infinitezimal constă în faptul că puteți crea noi modele pentru fiecare funcție. Derivatul lui y = x², de exemplu, este Y^L = 2x. Aceasta înseamnă că puteți găsi derivatul pentru fiecare punct al graficului y = x² inserând-o în ecuația derivată. În punctul cu coordonate (2-4), unde x = 2 și y = 4, derivatul este 4, deoarece Y^L = 2 * (2).

Funcțiile derivate, în general, sunt indicate cu un vârf - de exemplu, derivatul ecuației Y este scris ca Y^L.

Dacă aveți dificultăți în înțelegerea conceptului, încercați să vă amintiți exemple din viața reală. Cea mai simplă pe care o descoperiți de la viteză, care oferă multe derivate diferite în care vă întâlniți în fiecare zi. Ține minte asta derivatul este măsura cât de rapidă este ceva diferit. Gândiți-vă la experimentul simplu al unei minge care se rostogolește pe o masă și trebuie să calculați cât de mult vă mișcați și cât de repede. Acum imaginați-vă că marmura trage o linie pe un grafic, puteți utiliza derivatele pentru a măsura variația instantanee în fiecare punct de pe linie.

Cât de repede se schimbă poziția marmurei? Care este rata de variație, adică derivată, a mișcării sale? În acest caz derivatul este ceea ce noi numim "viteză".

Rolați marmura pe un plan înclinat și observați cât de repede se obține viteza. În acest caz, ce reprezintă derivatul? Putem spune că măsuram "accelerare" din marmură.

Rotiți mingea în sus și în jos pe o pistă similară cu un roller coaster. Cât de repede crește viteza de coborâre și cât de repede o reduce în sus? Care este viteza sa când este exact la jumătatea primei urcări? Aceasta este rata de variație instantanee sau derivată a marmurei la un anumit punct.

Partea 3

Înțelegând integralele

Aflați cum să utilizați calculul infinitezimal pentru a găsi zona și volumele de forme complexe. Datorită acestei ramuri a matematicii puteți măsura forme care altfel ar fi prea complicate. De exemplu, încercați să luați în considerare cât de multă apă există într-un lac cu o formă alungită și tortuoasă - este practic imposibil să măsurați fiecare litru de apă separat sau cu un conducător. Calculul infinitezimal vă ajută, deoarece vă permite să calculați modul în care profilul băncii se schimbă și exploatează aceste informații pentru a ajunge la valoarea cantității de apă conținută.

Efectuarea de modele geografice și studierea volumului este definită "integrare" sau cvadratură. Acesta este al doilea set major de calcul infinitezimal.

Aflați cum să găsiți zona sub o diagramă. Integralele vă permit să calculați suprafața de sub fiecare linie, apoi găsiți zona de forme ciudate și neregulate. Luați în considerare ecuația y = x² al cărui grafic arată ca unul mare "U". De exemplu, ați putea dori să găsiți suprafața suprafeței care se află sub U și puteți utiliza integrarea pentru acest calcul. Dacă totul pare inutil, încercați să evaluați industria de fabricare: puteți crea o funcție a cărei grafică este similară cu o piesă nouă pe care trebuie să o produceți și știți că zona vă permite să comandați cantitățile potrivite de materii prime.

Știți că trebuie să selectați o zonă pentru a continua calculul integralului. Nu puteți integra o întreagă funcție. De exemplu, y = x este o linie diagonală infinită și nu o puteți integra complet deoarece, de fapt, este infinită. Când integrați funcțiile, trebuie să stabiliți o zonă, cum ar fi cea dintre punctele x = 2 și x = 5.

Examinați modul în care se calculează zona dreptunghiului. Imaginați-vă că aveți o linie orizontală pe grafic, ca y = 4. Pentru a găsi zona de mai jos, trebuie să selectați suprafața dreptunghiului între y = 0 și y = 4. Zona figurului pe care l-ați definit este simplu de calculat, dar acest proces nu este aplicabil cu linii curbe care nu pot fi ușor transformate în dreptunghiuri.

Integrarea constă în adăugarea zonei de mai multe dreptunghiuri mici pentru a găsi suprafața totală. Dacă măriți foarte mult un segment curbat, acesta va apărea ca o linie plată. Acest lucru se întâmplă și în viața de zi cu zi, de exemplu, nu puteți vedea curbura Pământului deoarece sunteți prea aproape de suprafață. Integrarea creează o serie infinită de mici dreptunghiuri sub linia curbă și sunt atât de mici încât partea respectivă "curb" acesta poate fi considerat plat, astfel încât să se poată efectua cu ușurință calculele. Adăugați zona tuturor acestor mici dreptunghiuri pentru a găsi suprafața totală.

Imaginați-vă că adăugați o mulțime de felii între ele sub grafic și că lățimea fiecăruia este aproape de zero.

Aflați cum să citiți și să scrieți integralele corect. Acestea sunt compuse din 4 părți. Iată aspectul său tipic:

∫ f (x) dreapta
Primul simbol, ∫ indică integrarea. A doua parte, f (x), indică funcția examinată (2x + 2, t² și așa mai departe), în timp ce abrevierea pe care o găsiți la sfârșit indică direcția în care trebuie să măsurați.

Dacă la sfârșitul integralului găsiți abrevierea dy în loc de dreapta, înseamnă că măsurați orizontal, din axa y - în acest caz, acestea sunt probleme complexe.

Aflați cum să calculați integralele. Puteți proceda în moduri diferite și va trebui să învățați mai multe formule pentru a integra toate funcțiile. Cu toate acestea, fiecare metodă respectă principiile descrise mai sus: cu integrarea veți găsi un număr infinit de dreptunghiuri pe care va trebui să le adăugați împreună.

Integrare prin substituție;

Calculul integralelor nedefinite;

Integrarea pe părți.

Cunoașteți că integrarea este operația inversă a derivării. Acesta este un concept "imobil" din calculul infinitezimal și este ceea ce a permis atingerea numeroaselor descoperiri științifice și tehnologice. Deoarece aceste două operațiuni sunt strâns legate, combinația lor vă permite să găsiți rata schimbării, accelerația, viteza și mișcarea, indiferent de informațiile pe care le aveți.

De exemplu, rețineți că derivatul vitezei este accelerația, astfel încât să puteți utiliza aceste date pentru ao găsi. Cu toate acestea, dacă cunoașteți accelerația unui corp (de exemplu, un obiect care se încadrează din cauza gravitației), puteți continua integrarea și puteți găsi viteza! Deci, indiferent de datele aflate în posesia dvs., puteți utiliza integralele și produsele derivate pentru a afla mai multe detalii.

Amintiți-vă că cu integralele puteți găsi, de asemenea, volumul de solide tridimensionale. Dacă rotiți o figură plată în jurul unei axe, puteți crea o solidă 3D. Imaginați-vă că transformați o monedă pe masă în fața dvs., veți observa că o sferă este creată în timpul mișcării sale. Puteți utiliza acest concept pentru a găsi volumul într-un proces definit "volum pe rotație".

În acest fel, puteți găsi volumul oricăror componente solide atâta timp cât aveți o funcție care o poate urmări. De exemplu, puteți găsi o funcție care definește fundul unui lac și apoi folosiți-o pentru a calcula volumul lacului însuși, adică conținutul său de apă.

Sfaturi

Clarificați-vă îndoielile, vorbind cu profesorul.
Începeți prin a studia conceptele de bază.
Acordați atenție în timpul lecțiilor.
Practica este perfectă, apoi practicată prin rezolvarea problemelor din manual și verificarea soluțiilor pentru a înțelege mai bine conceptele.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit