Cum se utilizează teorema lui Pythagorean

Mai mult de 2500 de ani în urmă, matematicianul grec Pitagora a descoperit o teoremă care este încă folosită astăzi. Teorema pitagoreană afirmă că: În fiecare triunghi dreptunghiular, pătratul construit pe hypotenuse este întotdeauna echivalent cu suma pătratelor construite pe catete. În scris algebric: a²

conținut

Paşi
Metoda 1În triunghiurile drepte
Metoda 2ca parte a formulei de distanțe
Metoda 3În triunghiurile nereacționate, folosind trigonometria
Metoda 4În adăugările vectorului
Sfaturi

+ b² = c².

Există multe utilizări ale teoremei pitagoreene. De exemplu, acesta poate fi folosit pentru a calcula distanța dintre două orașe utilizând un punct de referință sau dimensiunea unui vector, având în vedere componentele sale orizontale și verticale.

paşi

Metoda 1
În triunghiurile drepte

Scrieți teorema lui Pitagora: a2 + b2 = c2 și trageți o figură triunghială pe care o rezolvați.

Denumiți triunghiul. Denumiți cele două laturi mai scurte "a" și "b" (indiferent de ce este a și ce este b) și denumiți hypotenuse (cea mai lungă parte opusă unghiului drept) "c".

Determinați valoarea părții pe care încercați să o găsiți: a, b sau c. De obicei, veți primi două părți și va trebui să utilizați teorema pentru a găsi a treia.

Rescrieți ecuația cu valori cunoscute.

Dacă știți valoarea celor două catete (de exemplu 3 și 4) scrieți:
3² + 4² = c²

Dacă știți valoarea unui cathet și a unei hypotenuse (de exemplu, 3 și 5), scrieți:
3² + b² = 5²

Calculați pătratul.

Primul exemplu ar trebui să fie scris după cum urmează: 9 + 16 = c ².

Al doilea: 9 + b² = 25.

Adăugați membri.

În acest caz, toți membrii din partea stângă a ecuației sunt numere, astfel încât le putem adăuga pentru a obține: 25 = c².

În cel de-al doilea exemplu, va trebui să scăpați 3 ² de ambele părți ale ecuației pentru a izola variabila.

Faceți rădăcina pătrată. Odată ce ați făcut rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației, veți rămâne cu c = 5.

Exemplu: Având o ipotentă de valoare 10 și un cathet cu valoarea 8, se calculează valoarea celuilalt cathet.

a² + b² = c²

(8) ² + b² = (10) ²

64 + b² = 100

b2 = 100 - 64

b² = 36

b = rădăcina pătrată de 36

b = 6

Exemplu: o scară se sprijină pe peretele unei clădiri. Baza scării măsoară 5 metri începând de la baza peretelui. Scara ajunge la cele douăzeci de metri de peretele palatului. Cât timp este scara?

"5 metri de la baza peretelui" înseamnă a = 5 și "ajunge la douăzeci de metri de perete" înseamnă b = 20. Lungimea scării este hypotenuse, deci c este necunoscută.

a² + b² = c²

(5) ² + (20) ² = c²

25 + 400 = c²

425 = c²

c = rădăcina pătrată de 425

c = 20,6 (rotunjit la cel mai apropiat zece)

Deci, lungimea aproximativă a scării este de 20,6 metri.

Metoda 2
Ca parte a formulei de distanțe

Formula de distanță este folosită în geometrie pentru a găsi distanța dintre oricare două puncte.

Decideți ce puncte să utilizați. De obicei, punctele sunt date ca perechi ordonate.

Desenați puncte pe o diagramă. (x, y) unde x este axa orizontală și y este axa verticală.

Găsiți lungimea laturilor triunghiului. Puteți calcula calculul prin numărarea diferenței pe grafic sau utilizând (x₁ - x₂) pentru x și (y₁ - y₂) pentru y.

Utilizați teorema lui Pythagorean. Distanta dintre cele doua puncte este hypotenuse a triunghiului.

exemplu:

Utilizând punctele (3,5) și (6,1):

3-6 = -3 (x)

5-1 = 4 (y)

(-3) ² + (4) ² = c2

c = rădăcină (9 + 16)

c = rădăcină (25)

c = 5

Metoda 3
În triunghiurile nereacționate, folosind trigonometria

Această secțiune are exemplul celor două orașe menționate mai sus: în acest caz va trebui să găsiți valoarea distanței dintre orașul A și orașul C.
Pentru acest exercițiu, considerați că sunt cunoscuți cateterele a și b (vezi desenul de mai jos).

Desenați triunghiul.

Desenați altitudinea. Altitudinea este o linie perpendiculară pe ipoteza care trece prin vârful opus. În acest caz, altitudinea este "c".

Măsurați unghiul dintre linia care leagă orașul A de orașul B și linia de altitudine.

De obicei, unghiul va fi dat în aceste tipuri de probleme. În caz contrar, măsurați unghiul folosind un protractor.

Utilizați funcția de trigonometru cosinus pentru a afla lungimea altitudinii:Dacă lungimea "a" este cunoscută, atunci: Cos (A) = c / a și c = aCos (A)

Utilizați teorema lui Pythagorean pentru a găsi lungimea liniei care începe de la orașul A și ajunge la altitudine:
x1 = rădăcină (a² - c²)

Utilizați teorema Pitagora pentru a găsi distanța dintre altitudine și oraș C: x2 = rădăcină (b² - c²)

Faceți suma x1 și x2.

exemplu: Exemplu: trăiți în orașul A și aveți un prieten care locuiește în orașul C și doriți să știți cât de departe trăiește prietenul dvs. de la dvs. Știți că orașul B este de aproximativ 50 de mile și încă 100 de mile de acolo până în orașul C. Cât de departe este orașul din orașul C? (Rotește toate calculele la cea mai apropiată zecime)

Desenați altitudinea și măsurați unghiul.

Utilizați funcția cosinus pentru a afla lungimea altitudinii:
lungime = 50 x Cos (30) = 50 x 866 rotunjit la 43,3 mile

Utilizați teorema lui Pythagorean pentru a găsi lungimea lui x1:
x1 = rădăcină (50² - 43,3²) = rădăcină (625,11) = 25,0 mile

Utilizați teorema lui Pythagorean pentru a găsi lungimea distanței x2:
x2 = rădăcină (100² - 43,3²) = rădăcină (8125,1) = 90,1 mile

Adăugați cele două distanțe pentru a găsi distanța totală:
x1 + x2 = 25 + 90,1 = 115,1 mile

Metoda 4
În Adăugările vectorului

Teorema pitagoreană este utilizată pentru a calcula vectorii care rezultă. Acest lucru se poate face prin împărțirea vectorilor în componentele "x" și "y" (și "z" în a treia) și adăugarea lor ca componente. Componentele rezultate (catetile triunghiului drept) pot fi folosite pentru a calcula rezultatul (hypotenuse).

Împărțiți vectorii în componentele x și y. Vectorii au o direcție și o magnitudine: direcția este unghiul creat invers acelor de ceasornic de la axa pozitivă x- amplitudinea este lungimea vectorului. Pentru a împărți vectorul în componente, va trebui să folosiți trigonometria. De exemplu, un vector cu dimensiunea "M" și un unghi "30":

x = M * cos (30)
y = M * sin (30)

Adăugați componente. Acum că vectorii sunt descompuși în componentele x și y, facem suma componentelor x și suma componentelor y. Acestea sunt catetile triunghiului.

Utilizați teorema lui Pythagorean. În acest caz (suma lui x) ² + (suma lui y) ² = c², unde "c" este magnitudinea rezultată.

exemplu:

Vectorii adiționali (10.30) și (15.45):

[10cos (30) + 15cos (45)] = 19,27 (rotunjit la cel mai apropiat sute) # * (x)

[10sin (30) + 15sin (45)] = 15,61 (rotunjit la cel mai apropiat sute) # *: (y)

(19,27) ² + (15,61) ² = c²

c = rădăcină (371,3329 + 243,6721)

c = rădăcină (615.005)

c = 24,80

Sfaturi

Dacă triunghiul nu este drept, veți avea nevoie de mai multe informații decât lungimile celor două catete.
Hipotensiunea este întotdeauna:

adiacent la colțul din dreapta (nu atingeți)
cea mai lungă parte a triunghiului drept
înlocuiește cu "c" în teorema lui Pitagora

rădăcină (x) înseamnă "rădăcină pătrată a lui x"

Dacă aveți doar dimensiunea unui catehet, atunci teorema lui Pitagora nu va funcționa. Încercați să folosiți trigonometrie sau 30-60-90 / 45-45-90 rapoarte.

Diagramele reprezintă cheia pentru atribuirea corectă a valorilor a, b și c. Dacă lucrați la o problemă cu un text, asigurați-vă că o traduceți mai întâi într-o diagramă.

Nu uitați să vă verificați munca de mai multe ori. Dacă răspunsul nu pare corect, încercați din nou.

O altă verificare - partea mai lungă va fi opusă colțului mai larg, iar partea mai scurtă va fi vizavi de colțul mai mic.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit