Cum să rezolve inegalitățile de gradul doi

Forma clasică a unei inegalități de gradul doi este: topor

conținut

Paşi
Partea 1
Partea 2
Partea 3
Sfaturi

² + bx + c < 0 (o > 0). Rezolvarea inegalității înseamnă găsirea valorilor necunoscute x pentru care inegalitatea se dovedește a fi adevărată - aceste valori constituie setul de soluții, exprimate ca un interval. Există 3 metode principale: metoda liniei drepte și a punctului de verificare, metoda algebrică (cea mai comună) și cea grafică.

paşi

Partea 1

Patru etape pentru a rezolva inegalitățile de gradul doi

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 1

Pasul 1 Transformați inegalitatea într-o funcție trinomică f (x) din stânga și lasă 0 în dreapta.

Exemplu. Inegalitatea: x(6x + 1) < 15 se transformă într-un trinomial ca acesta: f (x) = 6x² + x - 15 < 0.

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 2

Pasul 2 Rezolva ecuația de gradul doi pentru a obține rădăcinile reale. În general, o ecuație de gradul doi poate avea zero, una sau două rădăcini reale. Puteți:

utilizați formula resolutivă a ecuațiilor de gradul doi sau formula patratică (funcționează întotdeauna)

descompus în factori (dacă rădăcinile sunt raționale)

completați pătratul (funcționează întotdeauna)

trageți graficul (prin aproximare)

procedați prin încercare (comandă rapidă pentru descompunerea factorilor).

Pasul 3. Rezolva inegalitatea de gradul doi pe baza valorilor celor două rădăcini reale.

Puteți alege una dintre următoarele metode:

Metoda 1: Utilizați metoda liniei drepte și a punctului de verificare. Cele 2 rădăcini reale sunt marcate pe linia numerelor și o împărțiți într-un segment și două raze. Utilizați întotdeauna originea O ca punct de verificare. Înlocuiți x = 0 în inequation-ul quadratic dat. Dacă este adevărat, originea este plasată pe segmentul corect (sau pe rază).

Notă. Cu această metodă, puteți utiliza o linie dublă sau chiar o linie triplă pentru a rezolva sisteme de 2 sau 3 inegalități patratice într-o singură variabilă.

Metoda 2. Utilizați teorema pe semnul f (x), dacă ați ales metoda algebrică. Odată studiată dezvoltarea teoremei, ea este aplicată pentru a rezolva diferitele inegalități de ordinul doi.

Teorema semnului f (x):

Între două rădăcini reale, f (x) are semn opus la a - ceea ce înseamnă că:

Între două rădăcini reale, f (x) este pozitivă dacă a este negativă.

Între două rădăcini reale, f (x) este negativă dacă a este pozitivă.

Puteți înțelege teorema prin căutarea intersecțiilor dintre parabola, graficul funcției f (x) și axele lui x. Dacă a este pozitivă, antena este orientată în sus. Între cele două puncte de intersecție cu x, o parte din parabola se află sub axele lui x, ceea ce înseamnă că f (x) este negativ în acest interval (opus a la).

Această metodă poate fi mai rapidă decât numărul liniei, deoarece nu necesită să o desenați de fiecare dată. În plus, ajută la crearea unui tabel de semne pentru rezolvarea sistemelor de inegalitate de ordinul doi prin abordarea algebrică.

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 4

Pasul 4. Exprimați soluția (sau setul de soluții) sub formă de intervale.

Exemple de intervale:

(a, b), intervalul deschis, cele 2 extreme a și b nu sunt incluse

[a, b], interval închis, cele 2 extreme sunt incluse

(-infinit, b], jumătate interval închis, extremitatea b este inclusă.

Notă 1. Dacă inegalitatea de gradul doi nu are rădăcini reale (discriminarea Deltei < 0), f (x) este întotdeauna pozitivă (sau întotdeauna negativă) în funcție de semnul la, ceea ce înseamnă că setul de soluții va fi fie gol, fie va constitui întreaga linie de numere reale. Dacă în schimb Delta discrimina = 0 (și deci inegalitatea are o rădăcină dublă), soluțiile pot fi: set gol, un singur punct, set de numere reale {R} minus un punct sau întregul set de numere reale.

Exemplu: rezolva f (x) = 15x ^ 2 - 8x + 7 > 0.

Soluția de rezolvare. Delta discriminantă = b ^ 2 - 4ac = 64 - 420 < 0. Nu există rădăcini reale. Fie a este pozitiv, f (x) este întotdeauna pozitiv (> 0) indiferent de valorile lui x. Inegalitatea este întotdeauna adevărată.

Exemplu: rezolvați f (x) = -4x ^ 2 - 9x - 7 > 0.

Soluția de rezolvare. Delta discriminantă = 81 - 112 < 0. Nu există rădăcini reale. Deoarece a este negativă, f (x) este întotdeauna negativă, indiferent de valorile lui x. Inegalitatea nu este întotdeauna adevărată.

Nota 2. Atunci când inegalitatea include, de asemenea, semnul egal (=) (mai mare și egală sau mai mică și egală), folosește intervalele închise [-4.10] pentru a indica faptul că cele două extreme sunt incluse în setul de soluții. Dacă inegalitatea este strict mai mare sau mai puțin strict, folosind intervale deschise ca și (-4, 10), ca extremele nu sunt incluse.

Partea 2

Exemplul 1

Rezolva: 15 > 6x² + 43x.

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 6

Transformați inegalitatea într-un trinomial. f (x) = -6x² - 43x + 15 > 0.

Rezolva f (x) = 0 pentru încercări.

Regula de semne spune că 2 rădăcini au semne opuse dacă termenul constant și coeficientul de x² au semne opuse.

Scrieți seturile de soluții probabile: {-3/2, 5/3}, {-1/2, 15/3}, {-1/3, 15/2}. Produsul numeratorilor este termenul constant (15), iar produsul numitorilor este coeficientul termenului x²: 6 (numitorii întotdeauna pozitivi).

Calculeaza încrucișată suma fiecărui set de rădăcini, soluții posibile, însumarea primul numărătorul înmulțit cu numitorul conform primului numitorul înmulțit cu al doilea numărătorului. În acest exemplu, sumele sunt traversate (-3) * (3) + (2) * (5) = 1, (-1) * (3) + (2) * (15) = 27 și (-1) * (2) + (3) * (15) = 43. Întrucât suma încrucișată a rădăcinilor soluției trebuie să fie egală cu -b* Sign (la) unde b este coeficientul de x și la este coeficientul de x², vom alege cel de-al treilea set, dar va trebui să excludem ambele soluții. Cele 2 rădăcini reale sunt: {1/3, -15/2}

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 8

Utilizați teorema pentru a rezolva inegalitatea. Între cele două rădăcini reale

f (x) este pozitiv, de semn opus la = -6. În afara acestui interval, f (x) este negativ. Deoarece inegalitatea inițială a avut o inegalitate îngustă, ea folosește intervalul deschis pentru a exclude extremele unde f (x) = 0.

Setul de soluții este intervalul (-15 / 2, 1/3).

Partea 3

Exemplul 2

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 9

Rezolva: x (6x + 1) < 15.

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 10

Transformați inequation-ul în: f (x) = 6x ^ 2 + x - 15 < 0.

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 11

Cele două rădăcini au semn opus.

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 12

Scrieți rădăcinile probabile: (-3 / 2, 5/3) (-3/3, 5/2).

Suma diagonală a primului set este de 10 - 9 = 1 = b.

Cele 2 rădăcini reale sunt 3/2 și -5/3.

Imaginea intitulată Rezolvați inegalitățile patratice Pasul 13

Alegeți metoda liniei numerice pentru a rezolva inegalitatea.

Alegeți originea O ca punct de verificare. Înlocuiți x = 0 în inegalitate. Se pare: - 15 < 0. E adevărat! Prin urmare, originea se situează pe segmentul adevărat, iar setul de soluții este intervalul (-5/3, 3/2).

Imaginea intitulată Rezolvarea inegalităților patratice Pasul 15

Metoda 3. Rezolvați inegalitățile de gradul doi prin trasarea graficului.

Conceptul metodei grafice este simplu. Când parabolei, graficul funcției f (x), este deasupra axa x (sau axa), trinomul este pozitiv, și invers, când este mai jos este negativ. Pentru a rezolva inegalitățile de gradul doi, nu va fi nevoie să desenați graficul parabolic cu precizie. Pe baza celor 2 rădăcini reale, puteți face o schiță aproximativă. Asigurați-vă că antena este îndreptată corect în jos sau în sus.

Cu această metodă puteți rezolva sisteme de 2 sau 3 inegalități patratice, desenând graficul a 2 sau 3 parabole pe același sistem de coordonate.

Sfaturi

În timpul testelor sau examenelor, timpul disponibil este întotdeauna limitat și va trebui să găsiți setul de soluții cât mai repede posibil. Întotdeauna alege ca punct de verificare originea x = 0, (cu excepția cazului în care 0 nu este o rădăcină), deoarece nu există nici un timp pentru a verifica cu alte puncte, și nici să se descompună factori în ecuația de gradul al doilea, recompune cele 2 rădăcini reale în perechi sau discutați despre semnele celor două binomiale.
Notă. Dacă testul sau examinarea este structurat cu mai multe variante de răspuns, și nu necesită o explicație a metodei folosite, este recomandabil să se rezolve inegalitatea metoda algebrică pătratică, deoarece este mai rapid și nu necesită tragerea liniei.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit