gtemata.com

Cum de a desena o funcție rațională

O funcție rațională este o ecuație care are formă y

conținut

= N (x) / D (x) unde N și D sunt polinoame. Încercarea de a trasa o diagramă exactă de mână poate face o revizuire completă a multor tematici importante ale matematicii de liceu, de la algebra de bază până la calculul diferențial. Luați în considerare următorul exemplu: y = (2x2 - 6x + 5) / (4x + 2).

paşi

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 1
1
Găsiți interceptarea y. Doar înlocuiți x = 0. Totul dispare, exceptând termenii constanți, plecând y = 5/2. Exprimându-l ca o pereche de coordonate, (0, 5/2) este un punct pe grafic. Desenați acest punct.
  • Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 2
    2
    Găsiți asimptotul orizontal. Împărțiți numitorul pentru numitor pentru a determina comportamentul lui y pentru x tinde spre infinit. În acest exemplu, divizia arată asta y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). Pentru valori pozitive sau negative mari de x, 17 / (8 x + 4) tinde la zero, iar graficul aproximează linia y = (1/2)x - (7/4). Folosind o linie punctată sau foarte ușoară, desenați această linie.
  • Dacă gradul de numărător este mai mic decât gradul numitorului, nu există nicio diviziune și asimptotul este y = 0.
  • Dacă gradul (N) = gradul (D), asimptota este o linie orizontală care se găsește în raportul principalilor coeficienți.
  • În cazul în care gradul (N) = gradul (D) + 1, asimptota este o linie dreaptă în care panta este raportul dintre coeficienții maxim de grade.
  • Dacă gradul (N) > gradul (D) + 1, apoi pentru valorile mari ale lui |x|, y merge rapid la infinitul pozitiv sau negativ ca un polinom cvadrat sau cubic. În acest caz, probabil nu merită să trageți cu precizie coeficientul divizării.
  • Imaginea intitulată Graph a Function Rational Pasul 3
    3
    Găsiți zerourile. O funcție rațională are un zero atunci când numărul este zero, deci trebuie să setăm N (x) = 0. În exemplu, 2x2 - 6x + 5 = 0. Distribuitorul acestui patrat este b2 - 4AC = 62 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = - 4. Deoarece discriminantul este negativ, N (x) - și, în consecință, f (x) - nu are rădăcini reale. Graficul nu traversează niciodată axa x. Dacă ați găsit orice zerouri, adăugați acele puncte în diagramă.
  • Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 4
    4
    Găsiți asimptotele verticale. O asimptote verticală are loc atunci când numitorul este zero. Laying 4 x + 2 = 0, găsiți linia verticală x = -1/2. Desenați fiecare asimptot vertical cu o linie întreruptă sau subțire. Dacă există o valoare de x face numitor și numitor atât null, N (x) = 0 și D (x) = 0, poate sau nu să fie o asimptote verticale. Acest lucru este rar, dar citiți sfatul despre cum să rezolvați acest caz dacă apare.


  • Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 5
    5
    Uită-te la restul diviziei la pasul 2. Când este pozitiv, negativ sau zero? În exemplul respectiv, numãrul restului este de 17, care este întotdeauna pozitiv. Numitorul, 4x + 2, este pozitiv în partea dreaptă a asimptotei verticale și negativ la stânga. Aceasta înseamnă că graficul abordează asimptota de mai sus pentru valorile pozitive mari de x și de jos pentru valori negative mari de x. Ca 17 / (8 x + 4) nu poate fi niciodată zero, acest grafic nu intersectează linia y = (1/2) x - (7/4). Nu adăugați acum nimic în diagramă, însă scrieți aceste concluzii mai târziu.
  • Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 6
    6
    Găsiți extremitatea locală. Ori de câte ori se produce o extremă locală N `(x) D (x) -N (x) D `(x) = 0. în exemplu, N `(x) = 4x - 6 și D `(x) = 4. N `(x) D (x) -N (x) D `(x) = (4x - 6) (4x + 2) - (2x2 - 6x + 5) * 4 = 0. Extinde, combinând termenii și dividendul cu 4, rămâne x2 + x - 4 = 0. Formula quadratică prezintă soluții apropiate de valori x = 3/2 e x = - 5/2. Acestea diferă de la 0,06 la valorile exacte, dar diagrama noastră nu va fi atât de precisă încât să vă faceți griji cu privire la acest nivel de detaliu. Alegerea unei aproximări raționale decente facilitează următorul pas.
  • Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 7
    7
    Găsiți valorile y fiecărei extreme locale. Introduceți valorile x din pasul anterior, înapoi în funcția rațională originală pentru a găsi valoarea y corespondent. În exemplu, f (3/2) = 1/16 și f (-5/2) = -65/16. Adăugați aceste puncte, (3/2, 1/16) și (-5/2, -65/16), în grafic. Deoarece am aproximat în pasul anterior, acestea nu sunt minime și maxime exacte, dar probabil că sunt aproape. Știm că (3/2, 1/16) este foarte aproape de minimul local. Din pasul 3, știm asta y este întotdeauna pozitiv atunci când x > -1/2 și am găsit o valoare la fel de mică ca 1/16, deci, cel puțin în acest caz, eroarea este probabil mai mică decât grosimea liniei.
  • Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 8
    8
    Conectați punctele și extindeți ușor graficul de la puncte cunoscute la asimptote, având grijă să le apropiați de direcția corectă. Aveți grijă să nu treceți axa x, cu excepția punctelor deja descoperite la pasul 3. Nu traversați asimptotele orizontale sau verticale, cu excepția punctelor deja găsite la pasul 5. Nu schimbați panta de la ascendent la descrescător, cu excepția celor aflate în pasul anterior.

    • Sfaturi

    • Dacă urmați pașii în ordine, de obicei nu este necesar să utilizați studiul derivatelor secundare sau al unor metode potențial complicate similare pentru a determina dacă punctele critice sunt niveluri sau niveluri locale sau nici una. În primul rând, încercați să utilizați informațiile din pașii anteriori și o anumită logică.
    • Dacă încercați să studiați funcția numai cu metode algebrice, puteți înlocui pașii privind modul de a găsi extremele locale prin calcularea diferitelor perechi de coordonate (x, y) suplimentare între fiecare pereche de asimptote. Alternativ, dacă nu vă interesează să știți de ce funcționează, nu există niciun motiv pentru care un student care nu a studiat încă analiza nu poate calcula derivatul unui polinom și poate rezolva N `(x) D (x) -N (x) D `(x) = 0.
    • Unele dintre aceste etape pot necesita rezoluția unor polinoame de înaltă calitate. Dacă nu puteți găsi soluțiile exacte prin factoring, formule sau alte mijloace, atunci evaluați soluțiile folosind tehnici numerice, cum ar fi metoda lui Newton.
    • În cazuri rare, numitorul și numitorul pot avea un factor comun neconstant. Urmând pașii, acest lucru se va prezenta ca un asimptot zero și vertical în același loc. Acest lucru este imposibil și ceea ce se întâmplă de fapt este unul dintre următoarele cazuri:
    • Valoarea zero în N (x) are o multiplicitate mai mare de zero în D (x). Graficul graficului f(x) se apropie de zero în acest punct, dar nu este definit. Indicați-l cu un cerc deschis în jurul punctului.
    • Valoarea zero în N (x) și zero în (x) au multiplicitate egală. Graficul se apropie de un anumit punct non-zero pentru această valoare de x, dar este nedeterminată. Indicați-l din nou cu un cerc deschis.
    • Valoarea zero în N (x) are mai puțină multiplicitate decât zero în D (x). Aici există o asimptote verticale.
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit