gtemata.com

Cum se divide logaritmii

La prima vedere, logaritmii pot părea dificil de utilizat, dar sunt la fel ca și puteri sau polinoame, trebuie doar să înveți tehnicile potrivite. Aveți nevoie doar de câteva proprietăți elementare pentru a împărți două logaritme cu aceeași bază sau pentru ao extinde pe cea care conține o fracțiune.

paşi

Metoda 1

Împărțirea manuală a logaritmilor
Imaginea intitulată Împărțiți logaritmii Pasul 1
1
Uită-te la problema căutând numere negative sau 1. Metoda descrisă în această secțiune permite rezolvarea diviziunilor în această formă: înregistrab⁡(x)înregistrab⁡(la){ displaystyle { frac { log _ {b} (x)} { log _ {b} (a)- cu toate acestea, nu este aplicabil în anumite cazuri specifice:
  • Logaritmul unui număr negativ este nedefinit pentru toate bazele (de exemplu înregistra⁡(-3){ displaystyle log (-3)} sau înregistra4⁡(-5){ displaystyle log _ {4} (- 5)}) - în acest caz, scrieți "nici o soluție";
  • Logaritmul lui 0 este nedefinit pentru toate bazele și veți găsi un termen cum ar fi ln⁡(0){ displaystyle ln (0)}, scrie "nici o soluție";
  • Logaritmul lui 1 în orice bază (înregistra⁡(1){ displaystyle log (1)}) este întotdeauna zero, dat fiind faptul că x0=1{ displaystyle x ^ {0} = 1} pentru fiecare x- înlocuiți logaritmul cu numărul 0 în loc să utilizați metoda descrisă mai jos;
  • Dacă două logaritme au baze diferite, cum ar fi Lsaug3(x)Lsaug4(la){ displaystyle { frac {log_ {3} (x)} {log_ {4} (a)}}} și nu puteți simplifica unul dintre ele ca un număr întreg, problema nu poate fi rezolvată de mână.
  • Imaginea intitulată Divide logaritmii Pasul 2
    2
    Conversia expresiei la logaritm. Presupunând că problema nu se încadrează într-unul din cazurile descrise mai sus, o puteți simplifica într-un singur logaritm - pentru a face acest lucru, utilizați formula înregistrab⁡(x)înregistrab⁡(la)=înregistrala⁡(x){ displaystyle { frac { log _ {b} (x)} { log _ {b} (a)}} = log _ {a} (x)}.
  • Primul exemplu: rezolvați problema înregistra16înregistra2{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}}}.
    Mai întâi, convertiți fracțiunea la un logaritm folosind formula descrisă mai sus: înregistra16înregistra2=înregistra2⁡(16){ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}} = log _ {2}.
  • Aceasta este formula lui "schimbarea de bază" care derivă din proprietățile elementare ale logaritmilor.
  • Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 3
    3
    Calculați soluția manual, dacă este posibil. Amintiți-vă că pentru a rezolva înregistrala⁡(x){ displaystyle log _ {a} (x)} trebuie să vă gândiți "la?=x{ displaystyle a ^ {?} = x}", care este "pentru ce putere trebuie să ridic la pentru a obține x?". Acest proces nu este întotdeauna posibil fără ajutorul unui calculator, dar dacă aveți noroc, puteți întâlni un jurnal simplu.
  • Primul exemplu: rescrieți înregistra2⁡(16){ displaystyle log _ {2} (16)} cum 2?=16{ displaystyle 2 ^ {?} = 16}- valoarea lui "?" este soluția problemei. O puteți găsi cu un proces de încercare și de eroare:
    22=2*2=4{ displaystyle 2 ^ {2} = 2 * 2 = 4}
    23=4*2=8{ displaystyle 2 ^ {3} = 4 * 2 = 8}
    24=8*2=16{ displaystyle 2 ^ {4} = 8 * 2 = 16}
    16 este rezultatul pe care îl căutați, apoi soluția înregistra2⁡(16){ displaystyle log _ {2} (16)} este 4.
  • Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 4
    4
    Lăsați răspunsul într-o formă logaritmică dacă nu îl puteți simplifica. Unele sunt într-adevăr foarte complexe pentru a rezolva manual - dacă trebuie să găsiți un număr pentru scopuri practice, ar trebui să utilizați un calculator. Dacă rezolvați o problemă școlară, probabil că profesorul vă așteaptă să lăsați soluția sub formă de logaritm. Iată un alt exemplu mai complex care folosește această metodă:
  • Al doilea exemplu: găsiți soluția înregistra3⁡(58)înregistra3⁡(7){ displaystyle { frac { log _ {3} (58)} { log _ {3} (7).
  • Transformați fracția într-un singur logaritm: înregistra3⁡(58)înregistra3⁡(7)=înregistra7⁡(58){ displaystyle { frac { log _ {3} (58)} { log _ {3} (7)}}. Rețineți că 3 din fiecare logaritm inițial dispare și acest lucru se întâmplă pentru orice bază.
  • Rescrieți-l sub forma 7?=58{ displaystyle 7 ^ {?} = 58} și căutați soluțiile posibile pentru "?":
    72=7*7=49{ displaystyle 7 ^ {2} = 7 * 7 = 49}
    73=49*7=343.{ displaystyle 7 ^ {3} = 49 * 7 = 343.}
    Deoarece 58 cade între două puteri consecutive, soluția de înregistra7⁡(58){ displaystyle log _ {7} (58)} nu este un număr întreg.
  • părăsi înregistra7⁡(58){ displaystyle log _ {7} (58)} ca răspuns.

    • Metoda 2

    Logaritmi cu Frazione
    Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 5
    1
    Începeți de diviziunea care se află în interiorul logaritmului. Această secțiune a articolului vă învață cum să rezolvați problemele care includ expresii: înregistrala⁡(xy){ displaystyle log _ {a} {{frac {x} {y}})}.
    • De exemplu, luați în considerare:
      "Rezolvați pentru "n" dacă înregistra3⁡(276n)=-6-înregistra3⁡(6){ displaystyle log _ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6 log_ {3} (6)}".
  • Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 6


    2
    Verificați numerele negative. Logaritmul unui număr mai mic decât zero este nedeterminat "x" sau "y" sunt negative, asigurați-vă că problema poate fi rezolvată înainte de a continua:
  • dacă "x" sau "y" este negativ, nu există nici o soluție;
  • dacă "x" și "y" acestea sunt ambii negativ, eliminați semnul "-" folosind proprietatea: -x-y=xy{ displayractie { frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}};
  • Nu există logaritme de numere negative, astfel încât să puteți continua cu pasul următor.
  • Imagine intitulată Divide logaritms Pasul 7
    3
    Extindeți coeficientul în două logaritme. O proprietate utilă este descrisă de formula: înregistrala⁡(xy)=înregistrala⁡(x)-înregistrala⁡(y){ displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}}) = log _ {a} (x). Cu alte cuvinte, logaritmul unei fracții este egal cu logaritmul numărătorului minus cel al numitorului.
  • Utilizați această proprietate pentru a extinde termenii din stânga semnului de egalitate:
    înregistra3⁡(276n)=înregistra3⁡(27)-înregistra3⁡(6n){ displaystyle log _ {3} ({ frac {27} {6n}}) = log_ {3} (27) - log _ {3} (6n)}.
  • Raportați ceea ce sa obținut în ecuația inițială:
    înregistra3⁡(276n)=-6-înregistra3⁡(6){ displaystyle log _ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6 log_ {3} (6)}
    →
    înregistra3⁡(27)-înregistra3⁡(6n)=-6-înregistra3⁡(6){ displaystyle log _ {3} (27) - log _ {3} (6n) = - 6 log _ {3} (6)}.
  • Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 8
    4
    Simplificați logaritmul dacă este posibil. Dacă un nou jurnal al expresiei are un întreg ca soluție, îl puteți simplifica în această etapă.
  • Exemplul considerat până acum are un nou termen: înregistra3⁡(27){ displaystyle log _ {3} (27)}. De la 33 = 27, trebuie să simplificați înregistra3⁡(27){ displaystyle log _ {3} (27)} în 3.
  • Ecuația completă apare acum ca:
    3-înregistra3⁡(6n)=-6-înregistra3⁡(6){ displaystyle 3- log _ {3} (6n) = - 6- log _ {3} (6)}.
  • Imaginea intitulată Împărțiți logaritmii Pasul 9
    5
    Izolați variabila. La fel ca în toate problemele de algebră, merită izolat termenul care conține variabila într-o parte a ecuației - combină termenii cât mai mult posibil pentru a simplifica problema.
  • 3-înregistra3⁡(6n)=-6-înregistra3⁡(6){ displaystyle 3- log _ {3} (6n) = - 6- log _ {3} (6)}
    9-înregistra3⁡(6n)=-înregistra3⁡(6){ displaystyle 9- log _ {3} (6n) = - log _ {3} (6)}
    înregistra3⁡(6n)=9+înregistra3⁡(6){ displaystyle log _ {3} (6n) = 9 + log _ {3} (6)}.
  • Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 10
    6
    Profitați de alte proprietăți ale logaritmilor atunci când este necesar. Pentru a izola variabila de restul ecuației, rescrieți termenii folosind proprietăți diferite al aceluiași.
  • În exemplul de mai sus, n este încă "prins" în interiorul termenului înregistra3⁡(6n){ displaystyle log _ {3} (6n)}.
    Pentru a izola variabila, folosiți proprietatea produsului între logaritmi: înregistrala⁡(bc)=înregistrala⁡(b)+înregistrala(c){ displaystyle log _ {a} (bc) = log {a} (b) + log {a}
    înregistra3⁡(6n)=înregistra3⁡(6)+înregistra3⁡(n){ displaystyle log _ {3} (6n) = log _ {3} (6) + log _ {3}.
  • Introduceți ceea ce se găsește în ecuația completă:
    înregistra3⁡(6n)=9+înregistra3⁡(6){ displaystyle log _ {3} (6n) = 9 + log _ {3} (6)}
    înregistra3⁡(6)+înregistra3⁡(n)=9+înregistra3⁡(6){ displaystyle log _ {3} (6) + log _ {3} (n) = 9 + log _ {3}.
  • Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 11
    7
    Continuați simplificarea până găsiți soluția. Repetați aceleași tehnici algebrice și logaritmice de mai multe ori până când ajungeți la rezultat. Dacă nu este un număr întreg, utilizați un calculator e în jurul soluției la cea mai semnificativă zecimală.
  • înregistra3⁡(6)+înregistra3⁡(n)=9+înregistra3⁡(6){ displaystyle log _ {3} (6) + log _ {3} (n) = 9 + log _ {3}
    înregistra3⁡(n)=9{ displaystyle log _ {3} (n) = 9}
    De la 39 = 19683, n = 19683.
    • Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit