gtemata.com

Cum se adaugă numere întregi de la 1 la N

Numerele naturale sunt numere întregi care nu au componente fracționare sau zecimale. Dacă o problemă de matematică necesită adăugarea unui număr întreg de la 1 la o valoare N dată, nu este necesar să adăugați manual fiecare valoare. În schimb, utilizați ecuația (N (N + 1)) / 2

- unde N este cel mai mare număr din serie - pentru a economisi timp, efort și sănătate.

paşi

Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 1
1
Definiți valoarea celui mai mare N. Adăugați numerele întregi de la 1 la orice număr N impune ca N să fie definit ca un întreg pozitiv. Ca un memento, numerele naturale sunt numere întregi, deci N nu poate fi o zecimală sau o fracție. Mai mult, nu poate fi negativă.
  • De exemplu, să presupunem că vrem să adăugăm toți numerele întregi de la 1 la 100. În acest caz, vom folosi 100 ca valoarea lui N deoarece este numărul final al seriei noastre sau, cu alte cuvinte, cel mai mare număr care urmează să fie adăugat.
  • Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 2
    2
    Înmulțiți N cu (N + 1) și împărțiți cu 2. Când ați definit valoarea întregului lui N, înlocuiți-o în ecuația (N (N + 1)) / 2. Această ecuație determină suma tuturor numerelor întregi între 1 și N.
  • În exemplul nostru, vom înlocui în ecuația 100, valoarea N. (N (N + 1)) / 2 devine (100 (100 + 1)) / 2.
  • Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 3
    3
    Rezolvați operația pentru a găsi răspunsul. Valoarea finală obținută prin această ecuație reprezintă suma tuturor numerelor între 1 și valoarea lui N.
  • Rezolvăm problema exemplului.
  • (100 (100 + 1)) / 2 =
  • (100 (101)) / 2 =
  • (10100) / 2 =
  • 5050. Suma tuturor numerelor întregi de la 1 la 100 este 5050.
  • Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 4
    4
    Înțelegeți cum a fost derivată ecuația (N (N + 1)) / 2. Să aruncăm o privire la problema exemplului din nou. Împărțiți serios seriile 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 în două grupuri - una de la 1 la 50 și cealaltă de la 51 la 100. Dacă adăugați primul număr al primului grup (1) la ultima numărul celui de-al doilea grup (100), obțineți 101. Obțineți 101 chiar dacă adăugați 2 la 99, 3 la 98, 4 la 97 și așa mai departe. Dacă în acest fel atribuim fiecare număr din primul grup numărului corespunzător din al doilea grup, obținem 50 de perechi de numere care au adăugat împreună același rezultat - 101. Deci, 50 × 101 = 5050, suma dintre numerele întregi de la 1 la 100. Rețineți că 50 este jumătate de 100, iar 101 este 100 + 1. De fapt, această observație este valabilă pentru suma oricăror întregi pozitivi - operațiunile de adăugare a componentelor pot fi împărțite în două grupuri - ulterior, numărul acestor grupuri ele pot fi atribuite unii altora în așa fel încât fiecare pereche, atunci când este adăugată împreună, să ofere aceeași valoare. Rețineți că cifrele impare vor avea restul unui număr - acest lucru nu afectează răspunsul final.
  • În termeni generali, putem spune că pentru orice număr N suma numerelor de la 1 la N este egală cu (N / 2) (N + 1). Forma simplificată a acestei ecuații este (N (N + 1)) / 2, ecuația sumelor întregilor.
    • Utilizați Sumele 1 până la N pentru a găsi Suma Integerilor între Două Numere

    Imaginea intitulată Sumă între întregi de la 1 la N Pasul 5
    1
    Decideți dacă doriți să adăugați împreună sau exclusiv. Adesea, mai degrabă decât să vi se ceară să găsească suma unei serii de numere întregi de la 1 la un număr dat, vi se va cere să găsiți suma unei serii de numere întregi între două numere întregi N1 și N2, unde N1 > N2 și ambele sunt > 1. Procesul de calculare a acestei sume este relativ simplu, dar înainte de ao executa, trebuie să stabiliți dacă suma ar trebui să fie inclusă sau exclusivă - cu alte cuvinte, dacă ar trebui să includă N1 și N2, sau numai numerele între ele, deoarece procedura variază ușor în funcție de această distincție.
  • Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 6
    2
    Pentru a găsi suma dintre numerele întregi între două numere N1 și N2, calculează suma pentru fiecare valoare a lui N separat și apoi se scade. În general, tot ce trebuie să faceți pentru a găsi răspunsul este să scadă suma valorii mai mică decât N din suma celei mai mari valori a lui N. totuși, după cum sa arătat mai sus, este important să știți dacă adăugați împreună sau exclusiv. Suma inclusă necesită scăderea 1 din valoarea lui N2 înainte de a fi introdusă în ecuație, în timp ce suma exclusivă necesită scăderea 1 din valoarea lui N1.
  • Recunoaștem că suntem rugați să găsim suma inclusiv din numere întregi între N1 = 100 și N2. Cu alte cuvinte, trebuie să găsim 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Pentru a face acest lucru, am găsi suma anilor de la 1 la N1, așa că vom scădea suma dintre numerele întregi de la 1 la N2 - 1 (amintiți-vă, când adăugăm, scădem 1 din N2), rezolvând după cum urmează:
  • (N1(N1 + 1)) / 2 - ((N,2-1) ((N2-1) + 1)) / 2 =
  • (100 (100 + 1)) / 2 - (74 (74 + 1)) / 2 =
  • 5050 - (74 (75)) / 2 =
  • 5050 - 5550/2 =
  • 5050 - 2775 = 2275. Suma totală a numerelor întregi între 75 și 100 este 2200.
  • Acum, să încercăm să adunăm exclusiv. Ecuația este aceeași, cu excepția cazului în care dedicăm 1 din N1 în loc de N2:
  • ((N1-1) ((N1-1) + 1)) / 2- (N2(N2 + 1)) / 2 =
  • (99 (99 +1)) / 2 - (75 (75 + 1)) / 2 =
  • (99 (100)) / 2- (75 (76)) / 2 =
  • 9900/2 - 5700/2 =
  • 4950 - 2850 = 2100. Suma exclusivă a numerelor întregi între 75 și 100 este 2100.
  • Imaginea intitulată Scrieți numerele întregi de la 1 la N Pasul 7
    3
    Înțelegeți de ce funcționează această procedură. Gândiți-vă la suma dintre numerele întregi de la 1 la 100, cum ar fi 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 și suma întregilor de la 1 la 75 ca 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 Găsiți suma totală a numerelor întregi între 75 și 100 înseamnă că găsiți 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Sumele de la 1 - 75 și 1 - 100 sunt aceleași până la 75 - în acel moment, suma de la 1 la 75 "opriri" și suma de la 1 la 100 "continuă" cu ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Din moment ce se întâmplă acest lucru, scăderea sumei de întregi de la 1 la 75 din suma întregului de la 1 la 100 ne permite să "izola" suma numerelor întregi de la 75 la 100.
  • Cu toate acestea, dacă adăugăm împreună, trebuie să folosim suma de 1 - 74, mai degrabă decât suma de 1 - 75, pentru a ne asigura că vom include numărul 75 în suma finală.
  • De asemenea, dacă adunăm exclusiv, trebuie să folosim suma 1 - 99, mai degrabă decât suma de la 1 la 100, pentru a ne asigura că numărul 100 nu este inclus în sumă. Putem folosi suma de 1 - 75, deoarece scăderea acestei valori de la suma de la 1 la 99 exclude numărul 75 din suma finală.

    • Sfaturi

    • Rezultatul este întotdeauna întreg, deoarece o N sau N + 1 este echivalent și, prin urmare, poate fi împărțit la 2.
    • Pe scurt: suma (de la 1 la N) = N (N + 1) / 2
    • Sumă (de la a la b) = Sumă (de la 1 la b) - Sumă (de la 1 la 1).

    Avertismente

    • Deși nu este foarte dificil să se aplice generalizări la numere negative, această procedură este limitată la toți numerele întregi pozitive (întregi) N, unde N este cel puțin 1.
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit