Cum de a calcula rădăcina pătrată de mână

Înainte de apariția computerelor, studenții și profesorii au trebuit să calculeze rădăcinile pătrate cu mâna. Au fost elaborate mai multe metode pentru a face față acestui proces greu: unele dau rezultate aproximative, altele dau o valoare exactă. Pentru a afla cum să găsiți rădăcina pătrată a unui număr folosind operații simple, citiți mai departe.

conținut

Paşi
Metoda 1
Metoda 2
Utilizați metoda divizării în coloană
Înțelegerea procedurii
Sfaturi
Avertismente

paşi

Metoda 1

Utilizați factorizarea în primele numere

Împărțiți-vă numărul în factori care sunt pătrate perfecte. Această metodă utilizează factorii unui număr pentru a găsi rădăcina pătrată (în funcție de tipul de număr, puteți găsi un răspuns numeric exact sau o aproximare simplă). Factorii unui număr sunt orice număr de numere care, înmulțite unul cu celălalt, au ca rezultat numărul în sine. De exemplu, s-ar putea spune că cei 8 factori sunt 2 și 4, pentru 2 x 4 = 8. pătratelor perfecte, pe de altă parte, sunt numere întregi, produsul altor numere întregi. De exemplu, 25, 36 și 49 sunt pătrate perfecte, deoarece sunt 5 respectiv², 6² și 7². Factorii piețelor perfecte sunt, după cum puteți să ghiciți, factorii care, la rândul lor, sunt pătrate perfecte. Pentru a începe să găsiți rădăcina pătrată prin factorizarea numerelor prime, puteți încerca inițial să vă reduceți numărul în factorii prime care sunt pătrate.

Să luăm un exemplu. Vrem să găsim manuală rădăcina pătrată de 400. În primul rând, să încercăm să împărțim numărul sub formă de factori care sunt pătrate perfecte. Din moment ce 400 este un multiplu de 100, stim ca este divizibil cu 25 - un patrat perfect. O diviziune rapidă în minte ne permite să știm că 25 este în 400 de 16 ori. Coincidență, chiar și 16 este un pătrat perfect. Astfel, factorii patrati sunt de 400 25 și 16, pentru că 25 x 16 = 400.
Am putea scrie: Sqrt (400) = Sqrt (25 x 16)

Faceți rădăcina pătrată a factorilor dvs. care sunt pătrate perfecte. Proprietatea de produs a rădăcinilor pătrate afirmă că pentru orice număr la și b, Sqrt (a x b) = Sqrt (a) x Sqrt (b). Pe baza acestei proprietăți, putem deduce rădăcinile pătrate ale factorilor noștri care sunt pătrate perfecte și le multiplicăm pentru a obține răspunsul nostru.

În exemplul nostru, va trebui să facem rădăcinile pătrate de 25 și 16. Citește mai jos:

Sqrt (25 x 16)

Sqrt (25) x Sqrt (16)

5 x 4 = 20

Dacă numărul dvs. nu este un factor perfect, reduceți-l la termenii minime. În viața reală, în cea mai mare parte, numerele pe care le veți găsi rădăcini pătrate nu vor fi numere bune "rotund" cu factori perfect patratici, cum ar fi 400. În aceste cazuri, poate fi imposibil să găsim răspunsul exact ca un număr întreg. În schimb, prin găsirea tuturor factorilor posibili care sunt pătratele perfecte, puteți găsi răspunsul în termeni de o rădăcină pătrată mai mică, mai simplu și mai ușor de gestionat. Pentru a face acest lucru, trebuie să reduceți numărul dvs. la o combinație de factori perfecți și non-pătrat, și apoi simplificați.

Să luăm rădăcina pătrată din 147 ca exemplu. 147 nu este produsul a două pătrate perfecte, deci nu putem găsi un întreg exact așa cum am încercat înainte. Cu toate acestea, este produsul dintre un pătrat perfect și un alt număr - 49 și 3. Putem folosi aceste informații pentru a vă scrie răspunsul după cum urmează în termeni simpli:

Sqrt (147)

= Sqrt (49 x 3)

= Sqrt (49) x Sqrt (3)

= 7 x Sqrt (3)

Dacă este necesar, faceți o estimare brută. Cu rădăcina pătrată sub formă de factori mai mici, de obicei, este ușor de a găsi o estimare aproximativă a unei valori numerice prin ghicirea valorile rădăcinilor pătrate rămase și înmulțirea. O modalitate de a vă ajuta să faceți această estimare este să găsiți pătrate perfecte pe ambele părți ale numărului dvs. rădăcină pătrată. Veți ști că valoarea zecimală a rădăcinii pătrate va fi între aceste două numere: în acest fel veți putea aproxima o valoare între ele.

Să ne întoarcem la exemplul nostru. Ca 2² = 4 și 1² = 1, știm că Sqrt (3) este între 1 și 2 - probabil mai aproape de 2 decât de 1. Să presupunem că avem 1.7. 7 x 1,7 = 11.9. Dacă încercăm cu calculatorul nostru, putem vedea că suntem destul de aproape de răspunsul corect 12,13.

Aceasta funcționează și cu numere mai mari. De exemplu, Sqrt (35) poate fi estimată între 5 și 6 (probabil foarte aproape de 6). 5² = 25 și 6² = 36. 35 este între 25 și 36, și în consecință rădăcina pătrată trebuie să fie între 5 și 6. Deoarece 35 este mai mică decât o singură cifră la 36, putem spune cu certitudine că rădăcina pătrată este doar mai puțin de 6. Prin efectuarea testului cu calculatorul, găsim aproximativ 5,92 - am avut dreptate.

Alternativ, ca un prim pas, reduceți numărul dvs. la termenii săi minimi. Nu este necesar să găsiți factori perfect cadranți dacă puteți determina factorii prime ai unui număr (acei factori care sunt și numere prime). Scrieți numărul dvs. sub forma primilor factori. Apoi căutați combinațiile posibile de numere prime printre factorii dvs. Când găsiți doi factori primari identici, eliminați ambele numere din rădăcina pătrată și plasați numai una din aceste numere din rădăcina pătrată.

De exemplu, găsim rădăcina pătrată de 45 folosind această metodă. Știm că 45 = 9 x 5 și că 9 = 3 x 3. Putem apoi scrie rădăcina pătrată în formă de factori: Sqrt (3 x 3 x 5). Pur și simplu scoateți 3 și puneți doar unul din rădăcina pătrată: (3) sqrt (5). În acest moment, este ușor să faceți o estimare.

Ca exemplu, problema finală, să încercăm să găsim rădăcina pătrată de 88:

Sqrt (88)

= Sqrt (2 x 44)

= Sqrt (2 x 4 x 11)

= Sqrt (2 x 2 x 2 x 11). Avem mai multe 2 în rădăcina noastră pătrată. Din moment ce 2 este un număr prime, putem elimina o pereche și a pus una de pe rădăcina pătrată.

= rădăcina pătrată la cei mai mici termeni este (2) Sqrt (2 x 11) o (2) Sqrt (2) Sqrt (11). În acest moment, putem estima Sqrt (2) și Sqrt (11) pentru a găsi un răspuns dur.

Metoda 2

Găsiți rădăcina pătrată manual

Utilizați metoda divizării în coloană

Separați cifrele numărului dvs. în perechi. Această metodă utilizează un proces similar divizării coloanelor pentru a găsi o rădăcină pătrată exactă, cifră după cifră. Deși nu este esențial, puteți facilita acest proces dacă vă organizați vizual spațiul de lucru și lucrați la numărul piesei. În primul rând, trage o linie verticală care separă zona de lucru în două secțiuni, apoi se trage o linie orizontală mai scurtă la partea de sus, partea de sus a secțiunii din dreapta, pentru a împărți într-o mică parte superioară într-o parte mai mare de jos. Apoi, începând cu punctul zecimal, împărțiți cifrele în perechi: de exemplu, 79.520.789.182.47897 devine "7 95 20 78 91 82, 47 89 70". Scrie-l în colțul din stânga sus.

De exemplu, să încercăm să calculam rădăcina pătrată de 780.14. Desenați două segmente pentru a vă împărți spațiul de lucru ca mai sus și pentru a scrie "7 80,14" în partea de sus, în spațiul din stânga. Se poate întâmpla ca la extrema stângă să fie doar un număr, precum și dacă se găsesc două. Veți scrie răspunsul dvs. (rădăcina pătrată de 780.14) în spațiul din dreapta sus.

Găsiți întregul n mai mare a cărui pătrată este mai mică sau egală cu numărul sau perechea de numere din stânga îndepărtată. Începeți de la piesa din stânga, care va fi un singur număr sau o pereche de cifre. Găsiți cel mai mare pătrat perfect care este mai mic decât acel grup, apoi faceți rădăcina pătrată a acestui pătrat perfect. Acest număr este n. Introduceți n în spațiul din stânga sus și scrieți pătratul n în cvadrantul din dreapta jos.

În exemplul nostru, grupul din stânga constă din numărul unic 7. După cum știm că 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, putem spune că n = 2, deoarece este cel mai mare întreg al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 7. Scrieți 2 în pătratul din dreapta, în partea de sus. Aceasta este prima cifră a răspunsului nostru. Tipul 4 (pătratul de 2) din cvadrantul din dreapta jos. Acest număr va fi important în pasul următor.

Reduceți numărul calculat doar de la perechea din stânga. În ceea ce privește divizarea în coloană, următorul pas constă în scăderea pătratului găsit de grupul pe care tocmai l-am analizat. Scrieți acest număr sub primul grup și scade, scrieți sub răspunsul dvs.

În exemplul nostru, vom scrie 4 sub 7, apoi vom scădea. Acest lucru ne va da drept rezultat 3.

Notați următorul grup de două cifre. Deplasați următorul grup de două cifre în partea de jos, lângă rezultatul scăderii găsite. Apoi multiplicați cu două numărul din colțul din dreapta sus și aduceți-l în jos spre dreapta. Aproape de numărul pe care tocmai l-ați transcris, adăugați ""_x_ ="“.

În exemplu, următoarea pereche este "80": scrie "80" aproape de 3. Produsul numărului din colțul din dreapta sus pentru 2 este 4: scrie "4_ × _ =" în cvadrantul din dreapta jos.

Completați spațiile libere din cvadrantul drept. Trebuie să introduceți același număr întreg. Acest număr trebuie să fie cel mai mare număr întreg care permite ca rezultatul înmulțirii din cadranul drept să fie mai mic sau egal cu numărul din stânga.

În exemplu, introducând 8, veți obține 48 înmulțit cu 8 egal cu 384, care este mai mare de 380. Deci, 8 este prea mare. 7 în schimb este bine. Introduceți 7 în multiplicare și calculați: 47 pentru 7 este egal cu 329. Scrieți 7 în partea dreaptă sus: aceasta este a doua cifră a rădăcinii pătrată de 780.14.

Reduceți numărul pe care tocmai l-ați calculat de la numărul din stânga. Continuați cu divizarea în coloană. Puneți rezultatul înmulțirii în cadranul drept și extrageți-l din numărul din stânga, scriind sub ce face.

În cazul nostru, scade 329 din 380, care dă 51.

Repetați pasul 4. Coborâți următorul grup de două cifre. Când întâlnești virgula, raportează-o și în rezultatul tău în cadranul din dreapta sus. Apoi multiplicați numărul în colțul din dreapta sus cu două și scrie-l lângă grup ("_ x _"), după cum sa făcut anterior.

În exemplul nostru, deoarece există o virgulă în 780.14, scrieți virgula în rădăcina pătrată din dreapta sus. Coborâți următoarea pereche de cifre spre stânga, care este 14. Produsul numărului din dreapta sus (27) pentru 2 este 54: write "54_ × _ =" în cvadrantul din dreapta jos.

Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cea mai mare cifră pe care să o introduceți în spațiile goale din dreapta care dau un rezultat mai mic, egal cu numărul din stânga. Apoi rezolvați problema.

În exemplu, 549 pentru 9 dă 4941, care este mai mică sau egală cu numărul din stânga (5114). Tastați 9 în partea dreaptă sus și scădeți rezultatul de multiplicare de la numărul din stânga: 5114 minus 4941 dă 173.

Dacă doriți să găsiți alte numere, scrieți o pereche de 0 în partea stângă jos și repetați pașii 4, 5 și 6. Puteți continua această procedură pentru a găsi cenți, mii de ani și așa mai departe. Continuați până când ajungeți la zecimalele necesare.

Înțelegerea procedurii

Pentru a înțelege modul în care funcționează această metodă, ia în considerare numărul din care doriți să calculați rădăcina pătrată ca suprafața S a unui pătrat. Rezultă că ceea ce calculați este lungimea L a laturii acelui pătrat. Doriți să găsiți numărul L al cărui pătrat L² = S. Descoperind rădăcina pătrată a S, găsiți partea L a pătratului.

Specificați variabilele pentru fiecare cifră a răspunsului dvs. Atribuiți variabila A ca prima cifră a L (rădăcina pătrată pe care încercăm să o calculam). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

Specificați variabilele pentru fiecare grup de număr de pornire. Atribuiți variabila S_A la primele două cifre din S (valoarea de pornire), S_B la a doua pereche de cifre, etc.

Ca și în calcularea diviziunilor se contează câte o dată, deci la calculul rădăcinii pătrate se ia în considerare o pereche de cifre la un moment dat (care este o cifră la o dată a rădăcinii pătrate).

Luați în considerare cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic decât S_A. Prima cifră A din răspunsul nostru este cel mai mare întreg al cărui pătrat nu depășește S_A (adică astfel încât A² ≤ S_A< (A + 1) ²). În exemplul nostru, S_A = 7 și 2² ≤ 7 < 3², deci A = 2.

Rețineți că, dorind să împartă 88962 de 7, primul pas ar fi similar: Considerați prima cifra de 88 962 (8) și ar căuta cea mai mare cifra, înmulțit cu 7, este egală sau mai mică de 8. Acest lucru înseamnă că d 7 × d ≤ 8 < 7 x (d + 1). d ar fi, prin urmare, 1.

Vizualizați pătratul pe care îl calculați zona. Replica, rădăcina pătrată a numărului de pornire, este L, care descrie lungimea laturii unei zone de pătrat S (numărul inițial de închidere între paranteze. Valorile A, B și C reprezintă cifrele numărului L. Un alt mod de a spune este, pentru un rezultat de două cifre, 10A + B = L, în timp ce, pentru un rezultat de trei cifre, 100A + 10B + C = L și așa mai departe.

În exemplul nostru, (10A + B) 2 = L² = S = 100A2 + 2x10AxB + B2. Rețineți că 10A + B reprezintă răspunsul nostru L cu B în poziția unităților și A din zeci. De exemplu, cu A = 1 și B = 2, 10A + B este pur și simplu numărul 12. (10A + B) ² este zona întregului pătrat, în timp ce 100A² este zona din piața mare, b² este zona celui mai mic pătrat și 10AxB este zona fiecăruia dintre cele două dreptunghiuri rămase. Continuând cu această procedură lungă și complexă, găsim zona din jurul pătratului adăugând zonele de pătrate și dreptunghiurile care o compun.

A² din S este scurs_A. Pentru a lua în considerare factorul 100, o pereche de cifre este redusă de la S (S_B): "S_AS_B" trebuie să fie suprafața totală a pătratului și 100A² scăzută din acesta (aria celui mai mare pătrat). Ce rămâne este numărul N1 obținut în stânga în etapa 4 (380 în exemplu). Acest număr este egal cu 2 × 10A × B + B² (aria celor două dreptunghiuri adăugate la suprafața mai mică a pătratului).

Calculați N1 = 2 × 10A × B + B², de asemenea scris ca N1 = (2 × 10A + B) × B. A fost N1 (= 380) și A (= 2), și doriți să găsiți B. În ecuația de mai sus, B, probabil, nu va fi un număr întreg, astfel încât veți găsi cel mai mare număr întreg B, astfel încât (2 x 10A + B) × B ≤ N1 - deoarece B + 1 este prea mare, atunci veți avea: N1 < (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).

Pentru a rezolva, multiplicați A cu 2, mutați-l în zecimale (care ar fi egal cu multiplicarea cu 10), puneți B în poziția unităților și înmulțiți acest număr cu B. Acest număr este (2 × 10A + B) × B, care este exact la fel ca scrisul "N_ × _ =" (cu N = 2 × A) în cvadrantul din dreapta jos în pasul 4. În pasul 5, căutăm cel mai mare întreg care, înlocuit în multiplicare, dia (2 × 10A + B) × B ≤ N1.

Scoateți suprafața (2 × 10A + B) × B din suprafața totală (în stânga, în pasul 6), care corespunde zonei S- (10A + B) ², care nu a fost încă luată în considerare (și care va fi utilizată pentru calculați următoarea cifră în același mod).

Pentru a calcula următoarea figură C, repetați procedura: coborâți următoarea pereche de cifre de la S (S_C) pentru a obține N2 spre stânga și pentru a căuta numărul C mai mare astfel încât (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (care este modul de scriere a produsului pentru 2 din numărul de două cifre "A B" urmat de "_ _ X =" și găsiți cel mai mare număr care poate fi introdus în multiplicare).

Sfaturi

Mutarea virgulei a două într-un număr zecimal (factorul 100) este echivalentă cu mutarea virgulei cu unul până la rădăcina pătrată (factorul 10).
În exemplu, 1.73 poate fi considerat a "odihnă": 780,14 = 27,92 + 1,73.
Această metodă funcționează cu fiecare tip de bază, nu doar cu cea zecimală.
Vă puteți reprezenta calculele în modul cel mai convenabil pentru dvs. Unii scriu rezultatul deasupra numărului de pornire.
Pentru o metodă alternativă, utilizați formula: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). De exemplu, pentru a calcula rădăcina pătrată de 780.14, întregul al cărui pătrat este mai aproape de 780.14 este 28, deci z = 780.14, x = 28 și y = -3.86. Înfundare în valorile și calcularea pentru x + y / (2x) se obține (în cele mai mici termeni) 78207/2800 sau aproximându, 27.931 (1) - termenul următor, sau 4374188/156607, aproximând, 27.930986 (5). Fiecare termen adaugă aproximativ 3 zecimale de precizie la cel precedent.

Avertismente

Nu uitați să împărțiți numerele care alcătuiesc numărul în grupe de două cifre, pornind de la virgulă. Dacă împărțiți 79.520.789.182,47897 "79 52 07 89 18 2,4 78 97" nu va fi de nici un folos pentru tine.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit