gtemata.com

Cum să rezolvați operațiunile rădăcinilor pătrată

Dacă simbolul rădăcinii pătrate intimidante poate face mulți studenți să se simtă rău, operațiunile rădăcinii pătrate nu sunt la fel de greu de rezolvat cum ar părea la început. Operațiile cu rădăcini simple pătrate pot fi deseori rezolvate cu ușurință exact ca înmulțirea și împărțirea de bază. Rădăcinile pătrată mai complexe, pe de altă parte, pot necesita puțin mai multă muncă, dar cu metoda potrivită pot fi ușor extrase. Începeți astăzi să practicați rădăcinile pătrate pentru a afla această nouă abilitate matematică radical

!

paşi

Partea 1

Înțelegerea patratelor și rădăcinilor pătrate
Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 1
1
Pătratul unui număr este rezultatul înmulțirii sale. Pentru a înțelege rădăcinile pătrate, este de obicei cel mai bine să începeți cu pătratele. Pătraturile sunt simple de înțeles: ridicarea unui număr pătrat înseamnă numai înmulțirea ei în sine. De exemplu, 3 pătraturi sunt aceleași cu 3 × 3 = 9, în timp ce 9 pătrat este egal cu 9 × 9 = 81. Pătraturile sunt scrise indicând un mic "2" în partea dreaptă sus a numărului înmulțit, după cum urmează: 32, 92, 1002, și așa mai departe.
  • Încercați să strângeți un alt număr pe cont propriu pentru a înțelege dacă ați asimilat cel mai bine conceptul. Rețineți că ridicarea unui număr pătrat înseamnă pur și simplu multiplicarea ei în sine. Puteți face acest lucru și cu numere negative, rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. De exemplu: -82 = -8 × -8 = 64.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 2
    2
    Pentru rădăcinile pătrate, găsiți"inversa" de un pătrat. Simbolul rădăcină pătrată (&# 8730-, de asemenea, numit "radical") reprezinta practic operatia "opus" la cea a simbolului 2 . Când vedeți un radical, va trebui să vă întrebați: "ce număr poate fi înmulțit de la sine pentru a da numărul prezent sub rădăcină?" De exemplu, dacă vedeți √ (9), va trebui să găsiți numărul care poate fi pătrat pentru a obține 9. În acest caz, răspunsul este trei, pentru că 32 = 9.
  • Ca un exemplu suplimentar, să încercăm să găsim rădăcina pătrată de 25 (√ (25)), adică numărul care este ridicat la pătratul dia 25. Din moment ce 52 = 5 × 5 = 25, putem spune că √ (25) = 5.
  • Vă puteți gândi la acest proces și ca "dezlega" un pătrat. De exemplu, dacă doriți să găsiți √ (64), rădăcina pătrată de 64, începeți să gândiți 64 la 82. Ca simbol al unei rădăcini pătrate, în esență, "elimină" a unui pătrat, putem spune că √ (64) = √ (82) = 8.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 3
    3
    Cunoașteți diferența dintre pătratele perfecte și imperfecte. Până acum, soluțiile pentru operațiunile noastre rădăcină pătrată au fost numere curate. Nu este întotdeauna cazul, de fapt, rădăcinile pătrate pot avea uneori soluții constând din zecimale destul de lungi și inconfortabile. Numerele ale căror rădăcini pătrate sunt numere întregi (cu alte cuvinte, fără fracții sau zecimale) sunt numite patrate perfecte. Toate exemplele enumerate mai sus (9, 25 și 64) sunt pătrate perfecte, deoarece atunci când extrageți rădăcinile lor pătrate, veți obține numere întregi (3, 5 și 8).
  • În schimb, numerele care au extras odată rădăcina pătrată nu au ca rezultat numere întregi piețe imperfectă. Prin extragerea rădăcinii pătrate a unuia dintre aceste numere, se obține de obicei o fracție sau un număr zecimal. Uneori, zecimalele în cauză pot fi destul de complicate. De exemplu, √ (13) = 3.605551275464 ...
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 4
    4
    Memorați primele 10-12 patrate perfecte. După cum probabil ați observat, extragerea rădăcinii pătrate a patratelor perfecte poate fi destul de ușoară! Deoarece rezolvarea acestor probleme este foarte simplă, merită să luăm timp pentru a memora rădăcinile pătrate din primele zece patrate perfecte. Veți avea multe de-a face cu aceste numere, luând astfel timp pentru a le învăța pe deplin, veți economisi mult mai mult. Primele 12 patrate perfecte sunt:
  • 12 = 1 × 1 = 1
  • 22 = 2 × 2 = 4
  • 32 = 3 × 3 = 9
  • 42 = 4 × 4 = 16
  • 52 = 5 × 5 = 25
  • 62 = 6 × 6 = 36
  • 72 = 7 × 7 = 49
  • 82 = 8 × 8 = 64
  • 92 = 9 × 9 = 81
  • 102 = 10 × 10 = 100
  • 112 = 11 × 11 = 121
  • 122 = 12 × 12 = 144
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 5
    5
    Simplificați rădăcinile pătrate prin eliminarea pătratelor perfecte atunci când este posibil. Găsirea rădăcinilor pătrate de pătrate imperfecte poate fi uneori destul de complicată, mai ales dacă nu folosiți un calculator (în partea de jos veți găsi câteva trucuri pentru a face procesul mai ușor). Cu toate acestea, este adesea posibilă simplificarea numerelor sub rădăcină și simplificarea efectuării calculelor. Pentru a face acest lucru, pur și simplu trebuie să influențezi numărul rădăcinii, extrageți rădăcina pătrată a fiecărui factor care este un pătrat perfect și scrieți soluția din rădăcină. Este cu siguranta mai usor decat pare: cititi mai departe pentru a afla mai multe!
  • Să presupunem că vrem să găsim rădăcina pătrată de 900. La prima vedere pare destul de dificil! Cu toate acestea, nu va fi atât de complicat dacă rupem 900 de factori. factori acestea sunt numerele care se pot multiplica unul cu altul pentru a forma un alt număr. De exemplu, deoarece puteți obține 6 prin înmulțirea 1 × 6 și 2 × 3, factorii de 6 sunt 1, 2, 3 și 6.
  • În loc să faceți calculele cu numărul 900, care este destul de complicat, scrieți-l ca 9 × 100. Acum, din moment ce 9, care este un pătrat perfect, este separat de 100, putem extrage rădăcina pătrată individual. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Cu alte cuvinte, √ (900) = 3√ (100).
  • Prin urmare, putem să o simplificăm în continuare prin descompunerea 100 în factorii 25 și 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Prin urmare, putem spune că √ (900) = 3 (10) = 30.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 6
    6
    Utilizați numere imaginare pentru rădăcinile pătrate ale numerelor negative. Gândiți-vă: ce număr înmulțit de el însuși dă -16? Nici 4, nici 4: ridicându-i-le în pătrat, în ambele cazuri, numărul pozitiv 16. Nu renunți? De fapt, nu există nici o modalitate de a scrie rădăcina pătrată de -16 (și orice alt număr negativ) cu numere reale. În aceste cazuri, trebuie să recurgeți la numere imaginare (de obicei sub formă de litere sau simboluri) pentru a le înlocui în loc de rădăcina pătrată a numărului negativ. De exemplu, variabila este de obicei folosit pentru rădăcina pătrată de -1. Ca regulă generală, rădăcina pătrată a unui număr negativ va fi (sau va include) întotdeauna un număr imaginar.
  • Rețineți că, deși numerele imaginare nu pot fi reprezentate cu cifre clasice, ele pot fi tratate ca numere reale în multe privințe. De exemplu, rădăcinile pătrate de numere negative pot fi pătrat pentru a obține aceleași numere negative, la fel ca orice altă rădăcină pătrată a unui număr pozitiv. De exemplu, 2 = -1.

    • Partea 2

    Utilizați metoda divizării în coloană
    Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 7
    1
    Aranjați rădăcina pătrată ca în diviziunea unei coloane. Deși poate dura ceva timp, această metodă permite ca rădăcinile pătrate ale pătratelor imperfecte imperfecte să fie rezolvate fără utilizarea unui calculator. Pentru a face acest lucru, vom folosi o metodă de rezoluție (o algoritmul) care este similară, dar nu exact identică cu diviziune în coloană De bază.
    • Începeți prin a scrie rădăcina pătrată în aceeași formă ca o diviziune a coloanei. De exemplu, să presupunem că dorim să găsim rădăcina pătrată de 6.45, care cu siguranță nu este un pătrat perfect convenabil. Mai întâi, scrieți simbolul rădăcinii obișnuite (√) și numărul de sub el. Apoi, faceți o linie sub număr, astfel încât să ajungeți să găsiți într-un fel mic "cutie", ca într-o diviziune a coloanelor. Odată terminat, ar trebui să aveți un simbol cu ​​o coadă lungă "√" și un 6.45 scris mai jos.
    • Scrieți numerele deasupra rădăcinii, astfel încât să aveți grijă să părăsiți spațiul.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 8
    2
    Grupați cifrele în perechi. Pentru a începe rezolvarea problemei, grupează în perechi numărul numărului sub semnul radicalului, pornind de la punctul zecimal. Va fi util să faceți semne mici (cum ar fi puncte, bare, virgule etc.) între diferitele perechi pentru a le urmări.
  • În exemplul nostru, vom împărți 6.45 astfel: 6-, 45-00. Observați prezența unei cifre care "avans" în stânga, e în regulă.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 9
    3


    Găsiți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu primul "grup" din cifre. Începeți de la primul număr, primul cuplu din stânga. Alegeți cel mai mare număr cu un pătrat mai mic sau egal cu cel pătrat "grup" din cifre. De exemplu, dacă grupul de cifre a fost de 37, alegeți 6, deoarece 62 = 36 < 37 dar 72 = 49 > 37. Scrieți acest număr peste primul grup. Este prima cifră a soluției dvs.
  • În exemplul nostru, primul grup de 6-, 45-00 este format din 6. Cel mai mare număr care, atunci când pătratul este mai mic sau egal cu 6 este 2, de la 22 = 4. Noi scriem a "2" peste 6 prezent sub rădăcină.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 10
    4
    Dublați numărul pe care tocmai l-ați scris, aduceți-l mai jos și scade-l. Luați prima cifră a soluției (numărul pe care tocmai l-ați găsit) și dublați-o. Scrieți-l sub primul grup și extrageți-l pentru a găsi diferența. Aduceți următoarea pereche de numere alături de rezultat. În cele din urmă, scrieți la stânga ultima cifră a liniei duble (a primei cifre) a soluției și lăsați un spațiu lângă ea.
  • În exemplul nostru, vom începe prin luarea dublului de 2, prima cifră a soluției noastre. 2 × 2 = 4. Deci, vom scade 4 din 6 (primul nostru "grup"), obținând 2 ca rezultat. Mai târziu, vom aduce sub grupa următoare (45) pentru a obține 245. În cele din urmă, vom scrie din nou 4 din stânga, lăsând un spațiu mic pe care să scrie, după cum urmează: 4_.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 11
    5
    Umpleți spațiul gol. După aceea, va trebui să adăugați o cifră în partea dreaptă a numărului pe care tocmai l-ați scris în stânga. Alegeți numărul cel mai mare posibil (care urmează să fie înmulțit cu numărul nou), dar mai mic sau egal cu numărul pe care îl aveți "scăpat". De exemplu, dacă aveți numărul pe care îl aveți "scăpat" este 1700 iar numărul din stânga este 40_, va trebui să completați spațiul gol cu "4" deoarece 404 × 4 = 1616 < 1700, în timp ce 405 × 5 = 2025. Numărul pe care îl găsiți în acest moment al procesului va fi a doua cifră a soluției dvs. și îl puteți adăuga apoi deasupra marcajului rădăcină.
  • În exemplul nostru, trebuie să găsim numărul care umple spațiul gol de 4_ × _ oferi cel mai mare rezultat posibil - dar încă mai mică sau egală cu 245. În acest caz, răspunsul va fi 5. 45 × 5 = 225, în timp ce 46 × 6 = 276.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 12
    6
    Continuați, utilizând numerele "în spațiile goale" pentru rezultat. Continuați să efectuați această metodă de divizare a coloanelor modificate până când începeți să obțineți zerouri prin scăderea numerelor "adus mai jos"sau până când ajungeți la nivelul de aproximare necesar. Când ați terminat, numerele pe care le-ați utilizat fiecare pas pentru a umple semnele (plus primul număr vreodată) vor forma cifrele soluției.
  • Continuând în exemplul nostru, scădem 225 de la 245 pentru a obține 20. Apoi, se aduce sub următoarea pereche de cifre, 00, pentru a face numerele de mai sus 2000. Dublarea semnul rădăcinii, obținem 25 × 2 = 50. Rezolvarea spațiul alb 50_ × _ = /< 2000, ajungem 3. În acest moment, vom avea "253" deasupra marcajului rădăcină. Repetând din nou aceeași procedură, vom primi 9 ca cifră următoare.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 13
    7
    Deplasați-vă deasupra punctului zecimal de la dvs. "dividend" de plecare. Pentru a finaliza soluția, va trebui să puneți punctul zecimal în locul potrivit. Din fericire, este ușor: tot ce trebuie să faceți este să îl potriviți cu punctul zecimal al numărului de pornire. De exemplu, dacă numărul sub semnul rădăcină este de 49,8, va trebui să mutați pur și simplu virgula între cele două numere deasupra 9 și 8.
  • În exemplul nostru, numărul de sub semnul rădăcinii este 6,45, atunci pur și simplu se va muta virgula de mai sus inscrie între figurile 2 și 5 din rezultatul nostru, obținerea 2539.

    • Partea 3

    Realizați rapid o estimare aproximativă a pătratelor imperfecte
    Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinilor pătratului 14
    1
    Găsiți piețele imperfecte prin estimări aproximative. După ce ați memorat pătratele perfecte, găsirea rădăcinilor pătrate ale pătratelor imperfecte va deveni mult mai ușoară. Din moment ce știți deja mai mult de o duzină de pătrate perfecte, orice număr între două dintre acestea poate fi găsit "netezirea" din ce în ce mai mult o estimare brută între aceste valori. În primul rând, găsiți cele două pătrate perfecte între care se află numărul. Mai târziu, determinați care dintre aceste două numere este mai aproape.
    • De exemplu, să presupunem că trebuie să găsim rădăcina pătrată de 40. Deoarece am memorat pătratele perfecte, putem spune că 40 este între 62 și 72, care este între 36 și 49. Deoarece 40 este mai mare de 62, rădăcina lui pătrată va fi mai mare de 6 și ca fiind mai mică de 72, De asemenea, rădăcină pătrată va fi mai mic de 7. În plus, 40 este un pic mai aproape de 36 decât la 49, atunci rezultatul va fi probabil mai aproape de 6 decât 7. În etapele următoare, în continuare affineremo acuratețea soluției noastre.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătratului Pasul 15
    2
    Aproximează rădăcina pătrată la o zecimală. Odată ce ați găsit două pătrate perfecte între care se află numărul, va deveni o chestiune simplă de creștere a aproximării până când ajunge la o soluție care va împinge vă întâlnire din cordonul ombilical mai în detaliu, mai precis soluția. Pentru început, alegeți o zecimală "din valoarea zecilor" pentru soluție, nu trebuie să fie exactă, dar vă va economisi mult timp pentru a utiliza bunul simț pentru a alege cel care se apropie cel mai bine de rezultatul potrivit.
  • În exemplul nostru, o aproximare rezonabilă pentru rădăcina pătrată de 40 ar putea fi 6.4, deoarece știm din procedura de mai sus că soluția este probabil mai aproape de 6 decât de 7.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 16
    3
    Înmulțiți numărul aproximativ prin el însuși. Apoi, pătrat estimarea. Cu excepția cazului în care sunteți cu adevărat norocoși, nu veți primi imediat numărul de început: veți fi puțin peste sau sub el. În cazul în care soluția este un număr ușor mai mare decât dată, încercați din nou, cu o aproximație un pic mai mic (și invers în cazul în care soluția este mai mică, testul cu o estimare mai mare).
  • Înmulțiți 6.4 pentru a obține 6,4 × 6,4 = 40,96, care este puțin mai mare decât numărul inițial de care dorim să găsim rădăcina.
  • Apoi, pe măsură ce am depășit rezultatul dorit, vom multiplica prin sine numărul de o zecime mai mic decât estimarea noastră excesivă, obținând 6,3 × 6,3 = 39,69, care de data aceasta este ușor mai mică decât numărul de pornire. Aceasta înseamnă că rădăcina pătrată de 40 este undeva între 6,3 și 6,4. Mai mult, deoarece 39.69 este mai aproape de 40 de 40.96, vom ști că rădăcina pătrată va fi mai aproape de 6.3 decât de 6.4.
  • Imaginea intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrunde Pasul 17
    4
    Procesul de aproximare continuă după cum este necesar. În acest moment, dacă sunteți mulțumit de soluțiile găsite, vă recomandăm să alegeți și să utilizați unul ca estimare. Dacă doriți să obțineți o soluție mai precisă, tot ce trebuie să faceți este să alegeți o estimare a sumei "de cenți" care aduce această aproximare între primele două. Continuând cu această metodă, puteți obține trei zecimale pentru soluția dvs. și chiar patru, cinci și așa mai departe, aceasta va depinde doar de cât de mult detaliu doriți să ajungeți.
  • În exemplul nostru, vom lua 6,33 ca estimare cu două zecimale. Înmulțim 6.33 pentru a obține 6.33 × 6.33 = 40.0689. Deoarece rezultatul este ușor mai mare decât numărul nostru de pornire, vom încerca un număr ușor mai mic, cum ar fi 6.32-6.32 × 6.32 = 39.9424. Acest rezultat este ușor mai mic decât numărul nostru de început, deci știm acum că rădăcina exactă se află între 6,33 și 6,32. Dacă vrem să continuăm în detaliu, ar trebui să continuăm să folosim aceeași metodă pentru a obține o soluție mai precisă.

    • Sfaturi

    • Pentru a găsi soluții rapide, utilizați un calculator. Majoritatea calculatoarelor moderne sunt capabile să găsească imediat rădăcinile pătrate. De obicei, tot ce trebuie să faceți este să introduceți numărul și să apăsați simbolul rădăcinii pătrate. Pentru a găsi rădăcina pătrată de 841, de exemplu, trebuie doar să apăsați: 8, 4, 1, (√) și să primiți ca răspuns 39
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit