Cum puteți determina dacă o serie infinită se convertește

Seriile fără sfârșit pot fi descurajante și confuze, deoarece sunt destul de greu de vizualizat. La prima vedere, este destul de dificil să înțelegem dacă o serie converge sau nu - cu câteva secole în urmă, ar dura câteva ore pentru a rezolva o singură problemă de acest fel. Dar acum, datorită multor matematicieni strălucitori, putem folosi testele pentru a înțelege dacă o serie converge sau nu și acest lucru este foarte util. Testele sunt folosite pentru a înțelege dacă seria converge sau diverge, nu pentru a găsi suma. Asigurați-vă că aveți o bună înțelegere a analizei.

2

Verificați dacă este o serie geometrică. Aceasta este o teoremă foarte simplă și ușor de identificat, deci trebuie să verificați întotdeauna dacă este validă. O serie geometrică este o sumă infinită, a cărei formulă este r ^ k, unde k este variabila și r este mai mare de -1 și mai mică de 1. O serie geometrică se converge întotdeauna. De asemenea, puteți găsi și suma seriei, care este dată de 1 / (1-r).

3

Verificați dacă este o serie P. Seria P reprezintă sumări ale funcțiilor formei 1 / (x ^ p), unde x este un număr. Teorema susține că dacă p este mai mare decât 1, atunci seria converge, dacă p este mai mică sau egală cu 1, atunci seria se diferențiază. Aceasta înseamnă că primul nostru exemplu, 1 / x, se deosebește prin faptul că este același cu 1 / (x ^ 1), în acest caz p = 1. Aceasta se numește seria armonică. 1 / (x ^ 2) converge, deoarece 2 este mai mare decât 1.

Criteriul de comparație. Să presupunem că avem două serii cu termeni pozitivi, a (n) și b (n). Apoi: i) Dacă suma infinită a lui b (n) converge și a (n) este mai mică decât b (n) (pentru n suficient de mare), atunci suma a (n) converge. ii) Dacă b (n) diverge și a (n) > b (n), atunci a (n) diferă de asemenea. De exemplu, dacă avem seria 2 / x, o putem compara cu 1 / x. Deoarece deja știm că 1 / x este divergent și din 2 / x > 1 / x, atunci rezultă că și 2 / x diferă. Astfel, metoda de bază este de a folosi o serie cunoscută pentru a determina dacă seria necunoscută converge sau diverge.

Criteriul de comparare asimptotică. Dacă a (n) și b (n) sunt serii pozitive și dacă limita a (n) / b (n) există și este mai mare decât 0, ambele serii converg sau ambele diverg. Din nou, acest lucru necesită utilizarea unei serii cunoscute, iar metoda este, în general, de a alege o a doua serie a cărei putere maximă este aceeași cu puterea maximă a acelei date. De exemplu, dacă am avea 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), atunci este logic să o comparați cu 1 / (x ^ 3).

Criteriul integrității. Dacă o funcție este pozitivă, continuă și descendentă pentru x mai mare sau egal cu 1. Apoi, seria infinită f (n) converge dacă integritatea între 1 și infinitatea lui f (x) există și diverge atunci când integramentul nu Ea există. Deci, practic, este vorba despre integrarea funcției și despre găsirea limitei la infinit. Dacă există, atunci seria converge, în cazul în care nu este cazul, aceasta se diferențiază.