gtemata.com

Cum se calculează volumul

Volumul unui solid este valoarea cât spațiu tridimensional ocupă obiectul. Vă puteți gândi la volum ca la cantitatea de apă (sau nisip sau aer și așa mai departe) pe care obiectul o poate menține odată complet umplută. Cele mai comune unități de măsură sunt centimetri cubi (cm3

) și metri cubi (m3) - în sistemul anglo-saxon sunt preferate cilindrii cubi (în3) și picioare cubice (ft3). Acest articol vă va învăța cum să calculați volumul a șase cifre solide diferite frecvent întâlnite în problemele de matematică (cum ar fi conurile, cuburile și sferele). Veți observa că multe formule de volum sunt similare cu celelalte, ceea ce le face ușor să memoreze. Testați-vă și vedeți dacă le puteți recunoaște în timp ce citiți!

În scurt: Calculați volumul cifrelor comune

  1. Într-un paralelipiped cub sau dreptunghi, trebuie să măsurați înălțimea, lățimea și adâncimea, apoi să le multiplicați și să găsiți volumul. Consultați detaliile și imaginile.
  2. Măsurați înălțimea unui cilindru și raza bazei. Utilizați aceste valori și calculați πr2, apoi multiplicați rezultatul în funcție de înălțime. Vedeți detaliile și imaginile.
  3. Volumul unei piramide regulate este egal cu aria ⅓ x a înălțimii de bază x. Vedeți detaliile și imaginile.
  4. Volumul unui con este calculat cu formula: ⅓πr2h, unde r este raza bazei și h este înălțimea conului. Vedeți detaliile și imaginile.
  5. Pentru a găsi volumul unei sfere, tot ce trebuie să știți este raza r. Introduceți valoarea în formula 4/3πr3. Vedeți detaliile și imaginile.

paşi

Metoda 1

Calculați volumul unui cub
1
Recunoașteți un cub. Este o figură geometrică tridimensională, cu șase fețe pătrate egale una cu cealaltă. Cu alte cuvinte, este o cutie cu toate aceleasi laturi.
  • O moarte cu șase fețe este un bun exemplu de cub pe care îl puteți găsi acasă. Chiar și cuburile de zahăr și blocurile de lemn pentru copii cu litere sunt de obicei cuburi.
  • 2
    Aflați formula pentru volumul cubului. Deoarece toate părțile sunt aceleași, formula este foarte simplă. Este V = s3, unde V reprezintă volumul și s este lungimea unei părți a cubului.
  • Pentru a găsi s3, se multiplica simplu de trei ori pentru sine: s3 = s * s * s.
  • 3
    Găsiți lungimea unei părți. În funcție de tipul de problemă care vi se oferă, este posibil să aveți deja aceste date sau va trebui să o măsurați cu un conducător. Amintiți-vă că, deoarece toate laturile sunt egale în cub, nu este important pe care îl considerați.
  • Dacă nu sunteți 100% sigur că cifra în cauză este un cub, măsurați fiecare parte pentru a vă asigura că acestea sunt la fel. Dacă nu, va trebui să utilizați metoda descrisă mai jos pentru a calcula volumul unui paralelipiped dreptunghiular.
  • 4
    Introduceți valoarea laturii în formula V = s3 și faceți calculele. De exemplu, dacă ați aflat că lungimea laturii cubului este de 5 cm, atunci ar trebui să rescrieți formula după cum urmează: V = (5 cm)3. 5 cm * 5 cm * 5 cm = 125 cm3, adică, volumul cubului!
  • 5
    Nu uitați să exprimați răspunsul în unități cubice. În exemplul de mai sus, lungimea laturii cubului a fost măsurată în centimetri, astfel încât volumul să fie exprimat în centimetri cubi. Dacă valoarea laturii ar fi fost de 3 cm, volumul ar fi fost V = (3 cm)3 deci V = 27 cm3.

    • Metoda 2

    Calculați volumul unui paralelipiped cu dreptunghi
    1
    Recunoașteți un dreptunghi paralelipiped. Această figură tridimensională, cunoscută și sub denumirea de prisma dreptunghiulară, are șase fețe dreptunghiulare. Cu alte cuvinte, este o "cutie" cu laturi care sunt dreptunghiulare.
    • Un cub este de fapt un paralelipiped dreptunghiular în care toate marginile sunt egale.
  • 2
    Aflați formula pentru a calcula volumul acestei cifre. Formula este: Volum = lungime * adâncime * înălțime sau V = lph.
  • 3
    Găsiți lungimea solidului. Aceasta este cea mai lungă parte a feței paralele cu solul (sau cel pe care se sprijină paralelipipedul). Lungimea poate fi dată de problemă sau trebuie măsurată cu o riglă (sau cu o bandă).
  • De exemplu: lungimea acestui solid dreptunghiular este de 4 cm, deci l = 4 cm.
  • Nu vă faceți griji prea mult despre care parte considerați ca lungime, adâncime și înălțime. Atâta timp cât măsurați trei dimensiuni diferite, rezultatul nu se schimbă, indiferent de poziția factorilor.
  • 4
    Găsiți adâncimea solidului. Aceasta constă din partea mai scurtă a feței paralele cu solul, pe care se sprijină paralelipipedul. De asemenea, în acest caz, verificați dacă problema oferă aceste date sau măsurați-o cu o riglă sau o măsură de bandă.
  • Exemplu: adâncimea acestui paralelipiped dreptunghiular este de 3 cm, deci p = 3 cm.
  • Dacă măsurați solidul dreptunghiular cu un contor sau o riglă, nu uitați să notați unitatea de măsură de lângă valoarea numerică și că aceasta este constantă pentru fiecare măsurătoare. Nu măsurați o parte în centimetri, iar cealaltă în milimetri, utilizați întotdeauna aceeași unitate!
  • 5
    Găsiți înălțimea paralelipipedului. Aceasta este distanța dintre fața care se află pe sol (sau cea pe care se sprijină solidul) și fața superioară. Găsiți aceste informații în problemă sau obțineți-o prin măsurarea solidului cu o riglă sau o măsură de bandă.
  • Exemplu: înălțimea acestui solid este de 6 cm, deci h = 6 cm.
  • 6
    Introduceți dimensiunile dreptunghiului paralelipiped în formula și efectuați calculele. Amintiți-vă că V = lph.
  • În exemplul nostru, l = 4, p = 3 și h = 6. Prin urmare V = 4 * 3 * 6 = 72.
  • 7
    Verificați că ați exprimat valoarea în unități cubice. Având în vedere că dimensiunile paralelipipedul luate în considerare au fost măsurate în centimetri, răspunsul va fi scris ca 72 centimetri cubi sau 72 cm3.
  • Dacă dimensiunile au fost: lungimea = 2 cm, adâncimea = 4 cm și înălțimea = 8 cm, volumul ar fi fost de 2 cm * 4 cm * 8 cm = 64 cm3.

    • Metoda 3

    Calculați volumul unui cilindru
    1
    Învățați să recunoașteți un cilindru. Este o figură geometrică solidă, cu două baze circulare și plate identice unul cu altul, cu o singură față curbată care le leagă.
    • Un exemplu bun al unui cilindru este bateriile AA sau AAA.
  • 2
    Memorați formula volumului cilindrului. Pentru a calcula aceste date, trebuie să cunoașteți înălțimea figurii și raza bazei circulare (distanța dintre centru și circumferință). Formula este: V = πr2h, unde V este volumul, r este raza bazei circulare, h este înălțimea solidului și π este constantă pi.
  • În unele probleme de geometrie soluția poate fi exprimată în termeni de pi, dar în majoritatea cazurilor puteți să rotunji constanta la 3.14. Adresați-vă profesorului ce preferă.
  • Formula pentru găsirea volumului unui cilindru este foarte asemănătoare cu cea a paralelipipedului dreptunghiular: pur și simplu se înmulțește înălțimea solidului pentru zona bazei. Într-un paralelipiped dreptunghiular suprafața bazei este egală cu l * p, în timp ce pentru cilindru este2, adică zona unui cerc cu raza r.
  • 3
    Găsiți raza bazei. Dacă această valoare este furnizată de problemă, pur și simplu utilizați numărul care este dat. Dacă diametrul trebuie să fie cunoscut în locul razei, împărțiți valoarea cu două (d = 2r).
  • 4
    Măsurați solidul dacă nu știți raza. Aveți grijă, deoarece obținerea măsurătorilor exacte de la un obiect circular nu este întotdeauna ușor. O soluție ar fi măsurarea feței superioare a cilindrului cu o riglă sau o măsură de bandă. Faceți tot ce este mai bine să vă aliniați cu cea mai largă parte a cercului (diametrul) și apoi împărțiți datele cu 2, astfel încât veți obține raza.
  • Alternativ, măsurați circumferința cilindrului (perimetrul) utilizând o bandă sau o bucată de șir pe care puteți marca măsurarea circumferinței (și apoi verificați-o cu o riglă). Introduceți datele din formula pentru circumferință: C (circumference) = 2πr. Împărțiți circumferința cu 2π (6.28) și obțineți raza.
  • De exemplu, dacă circumferința măsurată este de 8 cm, atunci raza va fi de 1,27 cm.
  • Dacă aveți nevoie de date exacte, puteți utiliza ambele metode pentru a vă asigura că obțineți valori similare. Dacă nu, repetați procedura. Calculul razei de la valoarea circumferinței oferă, de obicei, rezultate mai precise.
  • 5
    Calculați aria cercului de bază. Introduceți valoarea razei în formulele de zonă: πr2. Mai întâi, se multiplică raza o dată pentru ea însăși și se multiplică produsul cu π. De exemplu:
  • Dacă raza cercului este de 4 cm, atunci suprafața bazei este A = π42.
  • 42 = 4 * 4 = 16. 16 * π (3.14) = 50,24 cm2.
  • Dacă ați primit diametrul bazei în locul razei, rețineți că aceasta este egală cu d = 2r. Veți avea nevoie pur și simplu să împărțiți diametrul în jumătate pentru a obține raza.
  • 6
    Găsiți înălțimea cilindrului. Aceasta este distanța dintre cele două baze circulare. Găsiți aceste informații în problemă sau măsurați-le cu o riglă sau o măsură de bandă.
  • 7
    Înmulțiți valoarea zonei de bază cu înălțimea cilindrului și veți obține volumul. Sau puteți evita acest pas prin introducerea dimensiunilor solidului direct în formula V = πr2h. În exemplul nostru, cilindrul cu raza de 4 cm și înălțimea de 10 cm va avea un volum de:
  • V = π4210
  • π42 = 50,24
  • 50,24 * 10 = 502,4
  • V = 502,4
  • 8
    Nu uitați să exprimați rezultatul în unități cubice. În exemplul nostru, dimensiunile cilindrului au fost măsurate în centimetri, deci volumul trebuie să fie exprimat în centimetri cubi: V = 502,4 cm3. Dacă cilindrul a fost măsurat în milimetri, volumul ar fi fost indicat în milimetri cubi (mm3).

    • Metoda 4

    Calculați volumul unei piramide regulate

    1
    Înțelegeți ce este o piramidă obișnuită. Este o figură solidă cu un poligon pentru baza și fețele laterale care se alătură unui vârf (vârful piramidei). O piramidă obișnuită se bazează pe un poligon obișnuit (cu toate aceleași laturi și unghiuri).
    • Cel mai adesea ne imaginăm o piramida cu pătrat pe care laturile se convertesc într-un singur punct, dar există piramide cu o bază de 5, 6 și chiar 100 de laturi!
    • O piramidă de bază circulară se numește con și va fi discutată ulterior.
  • 2
    Aflați formula de volum a unei piramide obișnuite. Aceasta este V = 1 / 3bh, unde b este aria bazei piramidei (poligonul din partea inferioară a solidului) și h este înălțimea piramidei (distanța verticală dintre bază și vârf).
  • Formula de volum se aplică tuturor tipurilor de piramide drepte, unde vârful este perpendicular pe centrul bazei și la cele oblice, unde vârful nu este centrat.
  • 3
    Calculați suprafața bazei. Formula depinde de câte laturi figura geometrică funcționează ca bază. Cel din diagrama noastră are o bază pătrată cu laturi de 6 cm. Amintiți-vă că formula de zonă pătrată este A = s2 unde s este lungimea laturii. În cazul nostru, suprafața de bază este (6 cm) 2 = 36 cm2.
  • Formula pentru aria triunghiului este: A = 1 / 2bh, unde b este baza triunghiului și h este înălțimea lui.
  • Puteți găsi aria oricărui poligon obișnuit folosind formula A = 1 / 2pa, unde A este zona, p este perimetrul și este apothem, distanța dintre centrul figurii geometrice și punctul central al oricărui laterale. Acesta este un calcul destul de complex, care depășește domeniul de aplicare al acestui articol, totuși puteți citi acest articol în care veți găsi instrucțiuni valide. Alternativ, puteți găsi "comenzi rapide" online cu ajutorul calculatoarelor automate din zona poligonului.
  • 4
    Găsiți înălțimea piramidei. În cele mai multe cazuri, acest lucru este indicat în problemă. În exemplul nostru specific piramida are o înălțime de 10 cm.
  • 5
    Multiplicați suprafața de bază la înălțimea ei și împărțiți rezultatul cu 3, astfel obțineți volumul. Rețineți că formula de volum este: V = 1 / 3bh. În piramida exemplului cu baza 36 și înălțimea 10 volumul este: 36 * 10 * 1/3 = 120.
  • Dacă am avea o altă piramidă, cu o bază pentagonală cu aria 26 și înălțimea 8, volumul ar fi fost: 1/3 * 26 * 8 = 69,33.
  • 6
    Nu uitați să exprimați rezultatul în unități cubice. Dimensiunile piramidei noastre au fost indicate în centimetri, deci volumul trebuie să fie exprimat în centimetri cubi: 120 cm3. Dacă piramida ar fi fost măsurată în metri, volumul va fi exprimat în metri cubi (m3).

    • Metoda 5

    Calculați volumul unui con
    1
    Aflați proprietățile conului. Este un solid tridimensional cu o bază circulară și un singur vârf (vârful conului). O modalitate alternativă de a gândi conul este să o considerăm o piramida specială cu o bază circulară.
    • Dacă vârful conului este perpendicular pe centrul cercului de bază, vorbim despre "con dreapta". Dacă vârful nu este centrat pe bază, vorbim "oblic conic". Din fericire, formula de volum este aceeași, indiferent dacă este vorba de un conul oblic sau drept.
  • 2
    Aflați formula volumului conului. Aceasta este: V = 1 / 3πr2h, unde r este raza bazei circulare, h înălțimea conului și π este constanta pi care poate fi aproximată la 3,14.
  • Partea din formula ρr2 se referă la zona bazei circulare a conului. Pentru aceasta, vă puteți gândi la aceasta ca formula generală a volumului unei piramide (vezi metoda precedentă) care este V = 1 / 3bh!
  • 3
    Calculați suprafața bazei circulare. Pentru a face acest lucru, trebuie să știți raza, care trebuie indicată între datele problemei sau în diagramă. Dacă vi se dă diametrul, amintiți-vă că trebuie doar să îl împărțiți cu 2 pentru a găsi raza (dat fiind că d = 2r). În acest punct introduceți valoarea razei în formula A = πr2 și găsiți zona bazei.
  • În exemplul diagramei noastre, raza bazei este de 3 cm. Când introduceți aceste date în formula: A = π32.
  • 32 = 3 * 3 = 9 atunci A = 9π.
  • A = 28,27 cm2
  • 4
    Găsiți înălțimea conului. Aceasta este distanța verticală dintre vârful și baza solidului. În exemplul nostru, conul are o înălțime de 5 cm.
  • 5
    Înmulțiți înălțimea conului pentru zona de bază. În cazul nostru suprafața este de 28,27 cm2 iar înălțimea este de 5 cm, deci bh = 28,27 * 5 = 141,35.
  • 6
    În acest moment trebuie să multiplicați rezultatul cu 1/3 (sau pur și simplu să îl împărțiți cu 3), pentru a găsi volumul conului. În etapa anterioară practic am calculat volumul unui cilindru cu pereți care se extinde în sus, perpendicular pe baza- cu toate acestea, deoarece considerăm un con a cărui pereți converg spre vârf, trebuie să împartă această valoare de 3.
  • În cazul nostru: 141.35 * 1/3 = 47.12 adică volumul conului.
  • Pentru a reafirma conceptul: 1 / 3π325 = 47,12.
  • 7
    Nu uitați să exprimați răspunsul în unități cubice. Deoarece conul nostru a fost măsurat în centimetri, volumul său trebuie exprimat în centimetri cubi: 47,12 cm3.

    • Metoda 6

    Calculați volumul unei sfere
    1
    Recunoașteți o sferă. Este un obiect tridimensional perfect rotund, unde fiecare punct al suprafeței este echidistant față de centru. Cu alte cuvinte, o sferă este un obiect în formă de minge.
  • 2
    Aflați formula pentru a calcula volumul sferei. Aceasta este: V = 4 / 3πr3 (care se pronunță "patru treimi la eroare la cub"), unde r reprezintă raza sferei și π este constanta pi (3,14).
  • 3
    Găsiți raza sferei. Dacă raza este indicată în diagramă, atunci nu este dificil să o identificați. Dacă vi se dau datele privind diametrul, trebuie să împărțiți această valoare cu 2 și veți găsi raza. De exemplu, raza sferei din diagramă este de 3 cm.
  • 4
    Măsurați sfera dacă nu sunt indicate datele privind raza. Dacă trebuie să măsurați un obiect sferic (ca o minge de tenis) pentru a găsi raza, mai întâi trebuie să obțineți un șir suficient de lung pentru a fi înfășurat în jurul obiectului. Apoi, înfășurați șirul pe sferă în cel mai larg punct (sau în ecuator) și trasați un semn în care șirul se suprapune. Apoi măsurați segmentul de sfoară cu o riglă și obțineți valoarea circumferinței. Împărțiți acest număr cu 2π, sau 6.28 și obțineți raza sferei.
  • Luați în considerare exemplul în care circumferința mingii de tenis este de 18 cm: împărțiți acest număr cu 6,28 și obțineți o valoare pentru raza de 2,87 cm.
  • Nu este ușor să măsurați un obiect sferic, cel mai bine este să faceți trei măsurători și să calculați media (suma valorilor dintre ele și împărțiți rezultatul cu 3), astfel veți obține cele mai exacte date posibile.
  • De exemplu, să presupunem că cele trei măsurători ale circumferinței mingii de tenis sunt: ​​18 cm, 17,75 cm și 18,2 cm. Ar trebui să adăugați aceste numere împreună (18 + 17.75 + 18.2 = 53.95) și apoi împărțiți rezultatul cu 3 (53.95 / 3 = 17.98). Utilizați această valoare medie pentru calculele de volum.
  • 5
    Ridicați raza pentru a găsi valoarea r3. Acest lucru înseamnă pur și simplu înmulțirea datelor de trei ori pentru ea însăși, atunci: r3 = r * r * r. Întotdeauna urmând logica exemplului nostru, avem r = 3, din care r3 = 3 * 3 * 3 = 27.
  • 6
    Acum, multiplicați rezultatul cu 4/3. Puteți utiliza un calculator sau puteți efectua înmulțirea manuală și apoi simplificați fracțiunea. În exemplul mingii de tenis, vom avea următorul lucru: 27 * 4/3 = 108/3 = 36.
  • 7
    În acest moment, multiplicați valoarea obținută pentru π și veți găsi volumul sferei. Ultimul pas este multiplicarea rezultatului găsit până acum pentru constanta π. În cele mai multe probleme de matematică, aceasta se rotunjește până la primele două zecimale (cu excepția cazului în care profesorul dvs. dă instrucțiuni diferite) - pentru a putea multiplica cu ușurință cu 3.14 și pentru a găsi soluția finală la întrebare.
  • În exemplul nostru: 36 * 3.14 = 113.09.
  • 8
    Exprimați răspunsul în unități cubice. În exemplul nostru am exprimat raza în centimetri, deci valoarea volumului va fi V = 113,09 centimetri cubi (113,09 cm3).
    • Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit