Cum se calculează valoarea așteptată

Faceți o listă a rezultatelor posibile. În acest fel veți avea o listă utilă a rezultatelor posibile ale jocului. În exemplul pe care l-am considerat, există șase posibilități, care sunt: ​​numărul 1 și pierdeți 10 euro, numărul 2 și pierdeți 10 euro, numărul 3 și pierdeți 10 euro, numărul 4 și pierdeți 10 euro, numărul 5 și câștigați 10 euro, numărul 6 și câștigați 20 de euro.

Stabilește șansele pentru fiecare rezultat. În acest caz, acestea sunt identice pentru cele șase numere posibile. Când rotiți o matriță cu șase fețe, probabilitatea ca un anumit număr să iasă este de 1 la 6. Pentru a face această valoare simplă pentru a scrie și a calcula, o puteți transforma din fracție (1/6) în zecimal utilizând calculatorul: 0.167. Scrieți probabilitatea aproape de fiecare rezultat, mai ales dacă rezolvați o problemă cu diferite probabilități pentru fiecare rezultat.

Notați valoarea pentru fiecare rezultat. Multiplicați cuantumul banilor aferenți fiecărui număr de morți cu probabilitatea de a ieși și veți afla câte euro contribuie la valoarea așteptată. De exemplu, "prima" aferentă numărului 1 este -10 euro (din moment ce pierzi) și posibilitatea ca această valoare să dispară este de 0,167. Din acest motiv, valoarea economică legată de numărul 1 este (-10) * (0,167).

Adăugați diferitele rezultate împreună pentru a afla valoarea așteptată a evenimentului. Pentru a păstra în minte exemplul anterior, valoarea așteptată a jocului de zaruri este: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) 0,167) + (20 * 0,167), adică - 1,67 euro. Din acest motiv, atunci când joci zaruri, ar trebui să aștepți să pierzi aproximativ 1,67 euro în fiecare căldură.

Înțelegeți implicațiile calculării valorii așteptate. În exemplul pe care tocmai l-am descris, aceasta indică faptul că trebuie să vă așteptați să pierdeți 1.67 de euro de fiecare dată când jucați. Acesta este un rezultat imposibil pentru fiecare pariu, deoarece poți pierde doar 10 euro sau câștigi 10 sau 20. Totuși, valoarea așteptată este un concept util pentru a prezice, pe termen lung, rezultatul mediu al jocului. Puteți lua în considerare și valoarea așteptată ca și costul (sau beneficiul) jocului: trebuie să decideți să jucați numai dacă distracția merită prețul de 1,67 euro per joc.

Noi numim "x" valoarea pe care o căutăm. Să presupunem că vrem să găsim de câte ori (în medie) trebuie să aruncăm o monedă pentru a obține două "capete" consecutiv. Va trebui să stabilim o ecuație care ne va ajuta să găsim soluția pe care o vom numi "x". Vom construi formula la un moment dat, pentru moment avem:

Gândiți-vă ce s-ar întâmpla dacă prima lansare a ieșit "încrucișată". Când rotiți o monedă, la jumătatea distanței, pe primul dvs. pitch veți obține "cruce". Dacă se întâmplă acest lucru, atunci veți avea "pierdut" o lansare, deși șansele dvs. de a obține două "capete" la rând nu s-au schimbat deloc. La fel ca înainte de lansare, ar trebui să așteptați să scoateți moneda de câteva ori înainte de a obține un cap de două ori. Cu alte cuvinte, va trebui să așteptați să lansați lansări "x" plus 1 (ceea ce ați făcut). În termeni matematici, puteți spune asta "în jumătate din cazuri va trebui să aruncați moneda de x ori plus 1":

Evaluați ce se va întâmpla dacă primiți "cap" la prima lansare. Există șanse de 0.5 (sau ½), care la prima aruncare să obțineți partea cu "capul". Această eventualitate pare să vă aducă mai aproape de obiectivul dvs. de a obține două "capete" consecutive, dar puteți cuantifica exact cât de aproape veți fi? Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să vă gândiți la posibilele rezultate ale celei de-a doua lansări:

Aflați cum puteți calcula probabilitățile în care se întâmplă două evenimente. Știm că o aruncare are 0.5 șanse de a arăta partea "capului", dar câte șanse sunt două lansările consecutive dau același rezultat? Pentru a le găsi, multiplicați probabilitățile fiecărei părți între ele. În acest caz: 0,5 x 0,5 = 0,25. Această valoare indică, de asemenea, șansele de a obține un cap și apoi o cruce, deoarece ambele sunt de 50% probabil să apară.

Adăugați rezultatul pentru caz "cap urmat de o cruce" ecuație. Acum că știm probabilitatea acestui rezultat, putem extinde ecuația. Există 0,25 (sau ¼) șansa de a rostogoli moneda de două ori fără a obține un rezultat util. Folosind aceeași logică ca și înainte, când am presupus că la prima lansare a ieșit o "cruce", vom avea încă nevoie de o serie de lansări "x" pentru a obține cazul dorit, plus cele două pe care deja le-am "irosit". Transformând acest concept în limbaj matematic, vom avea: (0.25) (x + 2) pe care îl adăugăm la ecuația:

Acum, să adăugăm cazul "cap, cap" la formula. Când primești două aruncări consecutive cu capul, atunci ți-ai atins scopul. Ați obținut ceea ce doriți în doar două lansări. Așa cum am văzut mai sus, șansele acestui eveniment sunt exact 0,25, deci în acest caz adăugăm (0,25) (2). Ecuația noastră este acum completă și este:

Simplificați ecuația. Încercați să faceți acest lucru mai simplu prin a face multiplicarea. Amintiți-vă că dacă observați date în paranteze, cum ar fi (0.5) (x + 1), atunci trebuie să multiplicați fiecare termen al celei de-a doua paranteze cu 0.5 și veți obține 0.5x + (0.5) (1) + 0,5. Continuați astfel pentru toate fragmentele ecuației și apoi combinați-le cât mai simplificate:

Rezolvați ecuația pentru x. La fel ca în orice altă ecuație, obiectivul dvs. este să găsiți valoarea lui x prin izolarea necunoscutului pe o parte a semnului egal. Amintiți-vă că semnificația lui x este "numărul mediu de aruncări pentru a alerga pentru a obține două capete consecutive". Când ați găsit valoarea lui x, veți avea și soluția problemei.

Înțelegeți conceptul de evenimente independente. În viața de zi cu zi, mulți oameni cred că au o zi norocoasă numai când se întâmplă lucruri frumoase și se pot aștepta ca o zi să rezerve multe surprize plăcute. Pe de altă parte, oamenii cred că într-o zi ghinionă sa întâmplat cel mai rău și că nu se poate întâmpla o soartă mai rea decât cel puțin pentru moment. Din punct de vedere matematic, acest lucru nu este un gând acceptabil. Dacă aruncați o monedă obișnuită, există întotdeauna 1 din 2 șanse de a avea un cap sau o cruce. Nu contează dacă la sfârșitul a 20 de aruncări ați obținut doar cap, cruce sau o combinație a acestor rezultate: următoarea lansare va avea întotdeauna o șansă de 50%. Fiecare lansare este complet "independent" de la cele precedente și nu este influențată de acestea.