gtemata.com

Cum să rezolvi o ecuație cubică

Prima dată când aveți de-a face cu o ecuație de gradul trei (sau cubică, exprimată în formă topor

3 + bx2 + cx + d = 0), poate părea aproape imposibil de rezolvat. Cu toate acestea, metoda de rezolvare a cubului există în vigoare de secole! Descoperit în secolul al XVI-lea de matematicienii italieni Niccolò Tartaglia și Gerolamo Cardano, acesta este unul dintre primele formule necunoscute vechilor greci și romani. Rezolvarea cubilor poate fi relativ dificilă, dar cu metoda potrivită (și o bună cunoaștere a fundamentelor), chiar și cele mai dificile cubi pot fi rezolvate.

paşi

Metoda 1

Rezolvați cu Formula Quadratică
Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 1
1
Verificați dacă cubul conține o constantă. După cum sa menționat mai sus, ecuațiile cubice iau forma topor3 + bx2 + cx + d = 0. Coeficienții b, c și d ele pot fi 0 fără a afecta gradul de ecuație (indiferent dacă este cubic sau nu), ceea ce în esență înseamnă că o ecuație nu trebuie neapărat să includă toți termenii bx2, cx sau d pentru a fi cubic. Deci, pentru a începe să folosiți această metodă de rezoluție relativ simplă - cubică, verificați dacă ecuația are o constantă (adică o valoare d). dacă nu este prezent, puteți utiliza aceeași metodă pentruecuația patratică pentru a găsi soluțiile, după câteva calcule mici.
  • Dacă, dimpotrivă, dimpotrivă, este ecuația conţine o constantă, va trebui să utilizați o altă metodă de rezoluție. Vedeți mai jos pentru abordări alternative.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 2
    2
    Factorul unu x din ecuație. Deoarece ecuația nu are o constantă, fiecare termen al ecuației are o variabilă x. Asta înseamnă că unul x ea poate fi descompusă în factori în afara ecuației pentru ao simplifica. Faceți acest lucru și rescrieți ecuația în formular x(topor2 + bx + c).
  • De exemplu, să presupunem că ecuația noastră cubică inițială este de 3x3 + -2x2 + 14x = 0. Factorizarea unui singur x din ecuație, vom obține x(3x2 + -2x + 14) = 0.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 3
    3
    Utilizați formula patratică pentru a rezolva secțiunea în paranteze. Veți observa că secțiunea ecuației noi conținută în paranteze corespunde formei unei ecuații patratice (topor2 + bx + c). Ceea ce înseamnă că putem găsi valorile pentru care această ecuație de gradul doi este egală cu 0 prin inserare a, b și c în formula patratică ({-b +/ -√ (b2- 4AC)} / 2la). Faceți acest lucru pentru a găsi două soluții ale ecuației dvs. cubice.
  • În exemplul nostru, introducem valorile la, b și c (3, -2 și respectiv 14) în ecuația patratică după cum urmează:
    {-b +/ -√ (b2- 4AC)} / 2la
    {- (- 2) +/- √ ((-2)2- 4 (3) (14))} / 2 (3)
    {2 +/- √ (4 - (12) (14)} / 6
    {2 +/- √ (4 - (168)} / 6
    {2 +/- √ (-164)} / 6
  • Soluția 1:
    {2 + √ (-164)} / 6
    {2 + 12,8} / 6
  • Soluția 2:
    {2 - 12.8} / 6
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 4
    4
    Utilizați zero și soluții la ecuația patratică ca soluții la ecuația cubică. Dacă ecuațiile cuadratoare au două soluții, cele de la al treilea (cubic) au trei. Ai găsit deja două, cele din secțiune "pătratic" în paranteze și, în cazurile în care cubicul este soluționat prin această metodă "factor de defalcare", a treia soluție va fi întotdeauna 0. Felicitări, tocmai ați rezolvat problema cubică.
  • Motivul pentru care această metodă funcționează este legat de faptul fundamental de fiecare dată când zero este egal cu zero. Când rupeți ecuația în factori în formă x(topor2 + bx + c) = 0, împărțiți-o în esență în două "jumătate": o jumătate este alcătuită din variabila x în partea stângă, în timp ce cealaltă este secțiunea patratică din paranteze. Dacă o jumătate este zero, atunci întreaga ecuație va fi aceeași. Astfel, cele două soluții la porțiunea patratică din paranteze, care fac asta "jumătate" egal cu zero, ele sunt soluții de cub, așa cum este el însuși, ceea ce face primul "jumătate" egal cu zero.

    • Metoda 2

    Găsirea de soluții complete cu liste de factori
    Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 5
    1
    Asigurați-vă că cubul are o constantă. Deși metoda descrisă mai sus este convenabilă deoarece nu necesită învățarea oricăror noi abilități matematice, aceasta nu va ajuta întotdeauna să rezolve cubi. Dacă ecuația are forma: topor3 + bx2 + cx + d = 0, are o valoare pentru d diferit de zero și trucul descompunerii factorului descris mai sus nu va funcționa, deci pentru ao rezolva va trebui să utilizați metodele descrise mai jos și mai jos.
    • De exemplu, să presupunem că avem ecuația 2x3 + 9x2 + 13x = -6. În acest caz, pentru a avea 0 în dreapta lui egal, trebuie să adăugăm 6 pe ambele părți, iar noua ecuație va deveni 2x3 + 9x2 + 13x + 6 = 0, unde d = 6 și, prin urmare, nu este posibil să se folosească metoda de factorizare descrisă mai sus.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 6
    2
    Găsiți factorii de la și d. Pentru a rezolva problema cubică, începe să găsească factorii la (coeficientul termenului x3) e d (constantă la sfârșitul ecuației). Ca un memento rapid, factorii sunt numerele pe care le puteți multiplica împreună pentru a forma un alt număr. De exemplu, deoarece puteți obține 6 prin înmulțirea cu 6 &timpii 1 și 2 × 3, 1, 2, 3 și 6 sunt factori de 6.
  • În exemplul nostru, la = 2 și d = 6. Factorii de 2 sunt 1 și 2, în timp ce factorii de 6 sunt 1, 2, 3 și 6.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 7
    3
    Împărțiți factorii de la pentru cei de la d. Apoi scrieți o listă a valorilor pe care le obțineți împărțind fiecare factor de la pentru fiecare factor de d. De obicei, rezultatul este compus din mai multe fracții și câteva numere întregi. Întreaga soluție a ecuației cubice va fi o parte dintre numerele întregi ale acestei liste sau negative corespunzătoare acestora.
  • În ecuația noastră, luând factorii la (1, 2) deasupra factorilor d (1, 2, 3, 6) obținem: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 și 2/3. Apoi, adăugăm corespondenții negativi în listă pentru a le completa: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 și -2/3. Întreaga soluție a ecuației noastre cubice este prezentă undeva în această listă.


  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 8
    4
    Utilizați regula Ruffini sau verificați soluțiile unul câte unul. Odată ce ai lista de valori disponibile, poți găsi rapid toate soluțiile la ecuația cubică, introducând fiecare număr întreg în ecuație manual și găsind care daune zero. Cu toate acestea, dacă nu doriți să vă petreceți prea mult timp, faceți o metodă ușor mai rapidă o procedură numită regula lui Ruffini. În esență, va trebui să împărțiți concis valorile întregului pe care le-ați găsit pentru coeficienții originali ai a, b, c și d în ecuația cubică. Dacă obțineți 0 ca restul, valoarea reprezintă una dintre soluțiile la ecuația cubică.
  • Diviziunea sintetică este un subiect complex, vedeți legătura cu articolul furnizat mai sus pentru mai multe informații. Mai jos este un exemplu de găsire a unei soluții pentru ecuația cubică folosind diviziunea sintetică (sau regulă Ruffini):
    -1 | 2 9 13 6
    __ | -2-7-6
    __ | 2 7 6 0
    Deoarece avem un rest final egal cu 0, vom ști cu certitudine că una dintre soluțiile întregi la cubic este -1.

    • Metoda 3

    Utilizați metoda "discriminatoriu"
    Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 9
    1
    Scrieți valorile a, b, c și d. În această metodă de rezolvare, vom avea mult de-a face cu coeficienții termenilor ecuației noastre. Din acest motiv, va fi bine să notați termenii a, b, c și d înainte de a începe, pentru a nu uita care corespunde fiecăruia.
    • De exemplu, în ecuație x3 - 3x2 + 3x - 1, vom scrie la = 1, b = -3, c = 3 e d = -1. Nu uitați că atunci când o variabilă x nu are coeficient, se presupune implicit că coeficientul este 1.
  • Imaginea cu titlul Rezolva o ecuație cubică Pasul 10
    2
    Calculați Δ0 = b2 - 3AC. Metoda discriminatorie necesită unele calcule complicate, dar dacă urmăriți cu atenție procesul, veți găsi un instrument valoros pentru a găsi soluții la cele mai dificile ecuații cubice care trebuie rezolvate prin alte metode. Pentru început, găsiți Δ0, prima dintre cantitățile importante de care aveți nevoie, introducând valorile corespunzătoare în formula b2 - 3AC.
  • În exemplul nostru, ar trebui rezolvată după cum urmează:
    b2 - 3AC
    (-3)2 - 3 (1) (3)
    9 - 3 (1) (3)
    9 - 9 = 0 = Δ0
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 11
    3
    Calculați Δ1 = 2b3 - 9abc + 27la2d. Următoarea cantitate majoră de care avem nevoie, Δ1, necesită puțin mai multă muncă, dar este, în esență, aceeași ca Δ0. Introduceți valorile corespunzătoare în expresia 2b3 - 9abc + 27la2d pentru a obține valoarea Δ1.
  • În exemplul nostru, aceasta rezolvă:
    2 (-3)3 - 9 (1) (- 3) (3) + 27 (1)2(-1)
    2 (-27) - 9 (-9) + 27 (-1)
    -54 + 81 - 27
    81 - 81 = 0 = Δ1
  • Imaginea cu titlul Rezolvați o ecuație cubică Pasul 12
    4
    Calculați Δ = Δ12 - 4Δ03) ÷ -27la2. Mai târziu, vom calcula discriminatoriu a cubului pornind de la valorile Δ0 și Δ1. Un disc discriminant este pur și simplu un număr care ne oferă informații despre rădăcinile unui polinom (este posibil să cunoașteți deja în mod necondiționat discriminația cuadratoare: b2 - 4AC). În cazul unui cub, dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația are trei soluții reale. Dacă este zero, ecuația are una sau două soluții reale, iar unele dintre aceste soluții sunt partajate. Dacă e negativă, ecuația va avea doar o singură soluție (o ecuație cubică are întotdeauna cel puțin o soluție reală deoarece graficul va traversa întotdeauna axa x cel puțin o dată).
  • În exemplul nostru, deoarece atât Δ0, cât și Δ1 = 0, găsirea Δ va fi jocul copilului. Va trebui să rezolvăm acest lucru, după cum se arată mai jos:
    Δ12 - 4Δ03) ÷ -27la2
    (0)2 - 4 (0)3) ÷ -27 (1)2
    0 - 0 ÷ 27
    0 = Δ, deci ecuația noastră are 1 sau 2 soluții.
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 13
    5
    Calculeaza C = 3√ (√ ((Δ12 - 4Δ03) + Δ1) / 2). Ultima valoare importantă pe care trebuie să o calculam este C. Această măreție ne va permite în cele din urmă să găsim cele trei rădăcini. Rezolvați în mod normal prin introducerea Δ1 și Δ0 acolo unde este necesar.
  • În exemplul nostru, vom găsi C în acest fel:
    3√ (√ ((Δ12 - 4Δ03) + Δ1) / 2)
    3√ (√ ((02 - 4 (0)3) + (0)) / 2)
    3√ (√ ((0 - 0) + (0)) / 2)
    0 = C
  • Imaginea intitulată Rezolvați o ecuație cubică Pasul 14
    6
    Găsiți cele trei rădăcini cu variabilele dvs. Rădăcinile (soluțiile) ecuației cubice sunt date de formula (b + unC + (Δ0 /unC)) / 3la, unde u = (-1 + √ (-3)) / 2 e n poate fi 1, 2 sau 3. Introduceți valori acolo unde este necesar pentru a rezolva ecuația. Va fi nevoie de o mulțime de calcule, dar ar trebui să găsiți trei soluții care să funcționeze!
  • În exemplul nostru, am putea rezolva prin verificarea soluțiilor atunci când n este egal cu 1, 2 și 3. Soluțiile pe care le obținem din aceste teste sunt soluțiile posibile pentru ecuația noastră cubică: fiecare valoare care dă 0 atunci când este inserată în ecuație va fi corectată. De exemplu, dacă găsim o soluție de 1 în unul dintre testele noastre, ca introducerea 1 x3 - 3x2 + 3x - 1 dă ca soluție 0, 1 este una dintre soluțiile pentru ecuația noastră cubică.
    • Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit