gtemata.com

Cum se creează un sigiliu Apollinea

Un sigiliu Apollinea este un tip de imagine fractală, format din cercuri care treptat devin mai mici, conținute într-un singur cerc mare. Fiecare cerc din sigiliul Apollinea este "tangentă" la cercurile adiacente - cu alte cuvinte, aceste cercuri se ating reciproc în puncte infinit de mici. Sunați Apollinea Seal în onoarea matematicianului Apollonius din Perga, acest tip de fractal poate fi adus la un nivel rezonabil de complexitate (manual sau cu calculatorul) și formează o imagine minunată și impresionantă. Citiți Pasul 1 pentru a începe.

paşi

Partea 1

Înțelegeți conceptele cheie

"Pentru a fi clar: dacă sunteți interesat pur și simplu "trage" un sigiliu Apollinea, nu este necesar să căutați principiile matematice care se află în spatele fractalului. Cu toate acestea, dacă doriți să înțelegeți cu atenție sigiliul Apollinea, este important să înțelegeți definiția diferitelor concepte pe care le vom folosi în discuție."

Imaginea intitulată Crearea unui garnitură Apollonian Pasul 1
1
Definiți termenii cheie. Următorii termeni sunt utilizați în instrucțiunile de mai jos:
  • Apollinea Seal: Unul dintre numeroasele nume care se aplică unui tip de fractal constând dintr-o serie de cercuri imbricate într-un cerc mare și tangente una la cealaltă. Acestea sunt de asemenea numite "Căutați Zolle" sau "Caut Bacianti".
  • Radiusul unui cerc: Distanța dintre punctul central al unui cerc și circumferința acestuia, la care variabila este de obicei atribuită "r".
  • Curbura unui cerc: funcția, pozitivă sau negativă, inversă la rază, sau ± 1 / r. Curbura este pozitivă la calcularea curburii externe, negativă la calcularea curburii interne.
  • Tangent: Un termen aplicat liniilor, planelor și formelor care se intersectează la un punct infinitezimal. În Apollinee Seals, acest lucru se referă la faptul că fiecare cerc atinge toate cercurile învecinate într-un singur punct. Rețineți că nu există intersecții - formele tangente nu se suprapun.
  • Imaginea cu titlul Creați un garnitură Apollonian Pasul 2
    2
    Înțelegeți teorema lui Descartes. Teorema Descartes este o formulă utilă pentru calcularea dimensiunilor cercurilor din sigiliul Apollinea. Dacă definim curburile (1 / r) ale oricăror trei cercuri - respectiv "la". "b" și "c" - curbura cercului tangent la cele trei (pe care le vom numi "d") este: d = a + b + c + 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a).
  • În scopurile noastre, vom folosi de obicei doar răspunsul pe care îl obținem prin plasarea unui semn "+" în fața rădăcinii pătrate (cu alte cuvinte ... + 2 (sqrt (...)). ecuația formei negative are utilitatea sa în alte contexte.

    • Partea 2

    Construcția sigiliului Apollinea

    "Sigiliile Apollinee au forma unor aranjamente fractuale magnifice ale cercurilor care se micșorează treptat. În mod matematic, sigiliile Apollinee sunt infinit de complexe, dar, fie prin utilizarea unui program de desenare, fie prin desen manual, puteți ajunge la un punct în care va fi imposibil să desenați cercuri mai mici. Cu cât sunt mai precise cercurile, cu atât mai mult veți putea umple cu garnituri."

    Imaginea cu titlul Creați un garnitură Apollonian Pasul 3
    1
    Pregătiți-vă instrumentele de desen, analogice sau digitale. În pașii de mai jos, vom face un simplu Apollinea Seal. Este posibil să se deseneze un sigiliu Apollinea fie manual, fie prin calculator. În ambele cazuri, încercați să desenați cercuri perfecte. Este foarte important pentru că fiecare cerc din Apollinea Seal este perfect tangent cu cercurile care sunt aproape de el - căutați să fie chiar neregulat și să vă distrugă produsul final.
    • Dacă desenați calculatorul, veți avea nevoie de un program care să vă permită să desenați ușor cercuri cu o rază fixă ​​din punctul central. Puteți utiliza Gfig, o extensie care se proiectează vectorial pentru GIMP, un program gratuit de editare a imaginilor, precum și o multitudine de alte programe de desenare (vedeți secțiunea materiale pentru câteva linkuri utile). Veți avea nevoie, de asemenea, de un calculator și de ceva pentru a înregistra raze și curbate.
    • Pentru a desena pecetea cu mâna, veți avea nevoie de un calculator științific, un creion, o busolă, o riglă (de preferință cu o mărime de milimetru), o hârtie și un notepad.
  • Imaginea cu titlul Creați o garnitură Apollonian Pasul 4
    2
    Începeți cu un cerc mare. Prima sarcină este ușoară - trageți pur și simplu un cerc mare care este perfect rotund. Cu cât este mai mare cercul, cu atât mai complex va fi sigiliul, așa că încercați să desenați un cerc la fel de mare ca și pagina pe care o desenați.
  • Imaginea cu titlul Creați un garnitură Apollonian Pasul 5
    3


    Desenați un cerc mai mic în interiorul celui original, tangent pe o parte. Apoi trageți un alt cerc în interiorul celui mai mic. Dimensiunile celui de-al doilea cerc depind de tine - nu există dimensiuni exacte. Cu toate acestea, pentru scopurile noastre, tragem al doilea cerc astfel încât punctul său central să fie în mijlocul razei mai mari a cercului.
  • Amintiți-vă că în Apollinee Seals, toate cercurile care se ating unii pe alții sunt tangente unul către celălalt. Dacă utilizați o busolă pentru a desena cercurile de mână, recreați acest efect plasând vârful busolei în mijlocul razei cercului exterior mai mare, apoi ajustați creionul astfel încât "revărsare" doar marginea cercului mare și, în final, desenarea cercului mai mic.
  • Imaginea cu titlul Creați o garnitură Apollonian Pasul 6
    4
    Desenați un cerc identic care traversează cercul mai mic din interior. Apoi, tragem un alt cerc care traversează primul. Acest cerc trebuie să fie tangent atât la cercul cel mai îndepărtat, cât și la cel mai intim, ceea ce înseamnă că cele două cercuri interioare vor fi exact la jumătatea drumului cel mai mare.
  • Imaginea cu titlul Creați o garnitură Apollonian Pasul 7
    5
    Aplicați teorema lui Descartes pentru a descoperi dimensiunile următoarelor cercuri. Opriți desenul pentru o clipă. Amintiți-vă că teorema Descartes este d = a + b + c + 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a), unde a, b și c sunt curburile celor trei cercuri tangente. Prin urmare, pentru a găsi raza cercului următor, descoperim întâi curbura fiecăruia dintre cele trei cercuri pe care le-am desenat deja astfel încât să găsim curbura cercului următor și apoi să o convertim și să găsim raza.
  • Definim raza cercului exterior ca fiind 1. Deoarece celelalte cercuri se află în interiorul acesteia din urmă, tratăm curbură "intern" (mai degrabă decât cea externă) și, în consecință, știm că curbura este negativă. - 1 / r = -1 / 1 = -1. Curbura cercului mare este -1.
  • Spițele din cercurile mai mici sunt jumătate din lungimea celei mari, sau, cu alte cuvinte, 1/2. Deoarece aceste cercuri ating cercul mai mare și se ating unul de celălalt, tratăm curbura lor "extern", astfel încât curburile sunt pozitive. 1 / (1/2) = 2. Curburile cercurilor mai mici sunt ambele 2.
  • Acum știm că a = -1, b = 2 și c = 2 conform ecuației lui Descartes. Am rezolvat d:
  • d = a + b + c + 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)
  • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
  • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
  • d = -1 + 2 + 2 ± 0
  • d = -1 + 2 + 2
  • d = 3. Curbura cercului următor va fi 3. Ca 3 = 1 / r, raza cercului următor este 1/3.
  • Imaginea cu titlul Creați o garnitură Apollonian Pasul 8
    6
    Creați următorul set de cercuri. Utilizați valoarea razei pe care tocmai ați găsit-o pentru a desena următoarele două cercuri. Amintiți-vă că acestea vor fi tangente la cercurile ale căror curburi a, b și c au fost folosite pentru teorema lui Descartes. Cu alte cuvinte, ele vor fi tangente atat la cercurile originale, cat si la cele doua cercuri. Pentru a face aceste cercuri tangente celorlalte trei, va trebui să le atrageți în spațiile goale ale cercului mai mare.
  • Amintiți-vă că raza acestor cercuri va fi egală cu 1/3. Măsurați 1/3 la marginea cercului exterior, apoi trageți cercul nou. Ar trebui să fie tangentă la celelalte trei cercuri.
  • Imaginea cu titlul Creați o garnitură Apollonian Pasul 9
    7
    Continuați să adăugați cercuri în acest fel. Deoarece sunt fractali, sigiliile Apollonian sunt infinit complexe. Aceasta înseamnă că puteți adăuga întotdeauna mai mici în funcție de ceea ce doriți. Sunteți limitat numai de exactitatea instrumentelor dvs. (sau, dacă utilizați computerul, capacitatea de mărire a programului de desenare). Fiecare cerc, indiferent cât de mic, ar trebui să fie tangent la celelalte trei. Pentru a trage următoarele cercuri, folosiți curburile celor trei cercuri la care vor fi tangente în teorema lui Descartes. Apoi, folosiți răspunsul (care va fi raza noului cerc) pentru a desena cu exactitate noul cerc.
  • Rețineți că sigiliul pe care l-am ales să îl desenați este simetric, astfel încât raza unuia dintre cercuri este aceeași cu cercul corespunzător "care o traversează". Cu toate acestea, știți că nu toate etanșările Apollinee sunt simetrice.
  • Să luăm un alt exemplu. Să spunem că, după desenarea ultimei serii de cercuri, dorim să desenăm cercuri care sunt tangente la cea de-a treia serie, al doilea și cel mai mare cerc exterior. Curburile acestor cercuri sunt de 3, 2 și, respectiv, de -1. Utilizăm aceste numere în teorema Descartes, setând a = -1, b = 2 și c = 3:
  • d = a + b + c + 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2
  • d = 2, 6. Avem două răspunsuri! Cu toate acestea, deoarece știm că noul nostru cerc va fi mai mic decât orice cerc la care este tangentă, doar o curbură 6 (și, prin urmare, o rază de 1/6) ar avea sens.
  • Celălalt răspuns, 2, se referă în prezent la cercul ipotetic"de altă parte" a punctului tangent al cercurilor a doua și a treia. acest "este" tangent atât la aceste cercuri, cât și la cercul cel mai îndepărtat, dar ar trebui să intersecteze cercurile deja trase, deci nu putem să le considerăm.
  • Imaginea cu titlul Creați o garnitură Apollonian Pasul 10
    8
    Ca provocare, încercați să realizați o sigilă Apollinea nesimetrică prin modificarea dimensiunilor celui de-al doilea cerc. Toate etanșările Apollinee încep în același mod - cu un cerc exterior exterior care acționează ca marginea fractalului. Cu toate acestea, nu există niciun motiv pentru care al doilea cerc ar trebui să aibă o rază care este jumătate din prima - am făcut-o doar pentru că este ușor de înțeles. Pentru distracție, începeți o nouă etanșare cu un al doilea cerc de dimensiuni diferite. Acest lucru vă va duce la noi căi de explorare interesante.
  • După desenarea celui de-al doilea cerc (indiferent de dimensiune), următoarea dvs. mișcare trebuie să fie desenarea uneia sau mai multor cercuri care sunt tangente atât la acest cerc, cât și la cel mai mare cerc exterior - nu există o cale corectă. Apoi puteți folosi teorema Descartes pentru a determina razele fiecărui cerc succesiv, după cum se arată mai sus.
    • Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit