gtemata.com

Cum de a desena Setul Mandelbrot de mână

Setul Mandelbrot constă din puncte desenate pe un plan complex pentru a forma o fractal

: o figură geometrică impresionantă, în care fiecare parte este o copie miniaturală a întregului. A fost posibil pentru a vedea imaginile ascunse fascinante în setul de Mandelbrot încă din secolul al XVI-lea, datorită înțelegerii pe care a avut Rafael Bombelli de numere imaginare ... dar a fost numai după ce Benoit Mandelbrot și alții au început să exploreze fractali cu ajutorul calculator că acest univers secret a fost dezvăluit.


Acum că știm despre existența sa, putem să o facem într-un mod mai "primitiv": cu mâna! Iată o modalitate de a arăta o reprezentare brută a întregului, cu unicul scop este acela de a da seama cum realizzato- puteți apoi evalua mai bine reprezentările pe care le puteți obține prin utilizarea de mai multe programe open source disponibile, sau se pot vizualiza pe CD-ROM și DVD.

paşi

Imaginea intitulată 217503 1
1
Înțelegeți formula de bază, adesea exprimată ca z = z2 + c. Pur și simplu înseamnă că pentru fiecare punct din universul Mandelbrot dorim să vedem, vom continua să calculam valoarea lui z până când se întâmplă una dintre cele două condiții - apoi o colorăm pentru a arăta cât de multe calcule am făcut. Nu vă faceți griji! Acesta va deveni clar în următorii pași.
  • Imaginea intitulată 217503 2
    2
    Luați trei creioane, creioane sau marcatori de diferite culori, plus un creion sau stilou negru pentru a urmări modelul. Motivul pentru care avem nevoie de trei culori este că vom face o primă aproximare cu nu mai mult de trei iterații (sau pasaje: cu alte cuvinte, se aplică formula de până la trei ori pentru fiecare punct):
  • Imaginea intitulată 217503 3
    3
    desena cu stilou negru o masă mare pentru tris de trei pătrate pentru trei, pe o bucată de hârtie.
  • Imaginea intitulată 217503 4
    4
    Marcați (întotdeauna în negru) pătratul central (0,0). Aceasta este valoarea constantă (c) a punctului din centrul exact al pătratului. Să spunem acum că fiecare pătrat este de 2 unități lățime, apoi suma și / sau scădea 2 de la / din valorile lui x și y din fiecare pătrat, ființă x și y primul și, respectiv, al doilea număr. Odată ce acest lucru se va realiza, rezultatul va fi cel prezentat aici. Urmând celulele pe orizontală, valorile lui y (al doilea număr) vor fi neschimbate - prin urmărirea lor verticală, valorile lui x (primul număr) vor fi.
  • 5
    Calculați primul pas sau repetare, de formula. Ca și computerul (de fapt, sensul original al acestui cuvânt este "persoana care calculează"), sunteți în stare să o faceți singur. Să începem din aceste ipoteze:

  • Valoarea de pornire a fiecărui pătrat este (0,0). Atunci când valoarea absolută a lui z pentru un anumit punct este mai mare sau egală cu 2, se spune că acel punct (și pătratul său corespunzător) este a fugit din setul Mandelbrot. În acest caz, veți colora pătratul în funcție de numărul de iterații ale formulei aplicate la acel moment.
    Imaginea intitulată 217503 a 5-a
  • Alegeți culorile pe care le veți folosi pentru pașii 1, 2 și 3. Să presupunem că, în sensul prezentului articol, sunt roșii, verzi și respectiv albastre.
    Imaginea intitulată 217503 5b
  • Calculează valoarea z pentru colțul din stânga sus al tabelului pentru tris, presupunând o valoare de pornire a z 0 + 0i sau (0,0) (vezi sfaturile pentru o mai bună înțelegere a acestor reprezentări). Folosim formula z = z2 + c, așa cum este descris în primul pasaj. În curând veți înțelege că, în acest caz, z2+c este simplu c, deoarece pătratul de la zero este întotdeauna zero. Și ce este? c pentru acest pătrat? (-2.2).
    Imaginea intitulată 217503 5C
  • Determină valoarea absolută a acestui punct - valoarea absolută a unui număr complex (a, b) este rădăcina pătrată a a2 + b2. Deoarece o vom compara cu valoarea cunoscută 2, putem evita calcularea rădăcinilor pătrate prin compararea cu2 + b2 cu 22, despre care știm că este echivalent cu 4. În acest calcul, a = -2 și b = 2.
    Imaginea intitulată 217503 5D
  • ([-2]2 + 22) =
  • (4 + 4) =
  • 8, care este mai mare de 4.
  • După primul calcul, el a scăpat din colecția Mandelbrot, deoarece valoarea absolută este mai mare decât 2. Culoarea cu creionul pe care l-ați ales pentru primul pas.
    Imaginea intitulată 217503 5e
  • Imaginea intitulată Mandelbrot_set_419
    Faceți același lucru pentru fiecare pătrat al mesei, cu excepția celui central, care nu va scăpa de Mandelbrot stabilit de al treilea pas (nici nu va mai fi vreodată). Așa că ați folosit numai două culori: cea a primului pasaj pentru toate piețele exterioare și cel al treilea pasaj pentru piața centrală.
  • Imaginea intitulată 217503 6
    6


    Să încercăm un pătrat de trei ori mai mare, de la 9 la 9, dar vom menține maximum trei iterații.
  • 7
    Începeți cu cel de-al treilea rând din partea de sus, deoarece acesta este locul în care lucrurile devin imediat interesante.

  • Primul element (-2.1) este mai mare de 2 (deoarece (-2)2 + 12 se dovedește a fi 5), deci să-l colorăm cu roșu, deoarece scapă din întregul Mandelbrot în primul pasaj.
    Imaginea intitulată 217503 7a
  • Al doilea element (-1,5,1) nu este mai mare decât 2. Aplicând formula pentru valoarea absolută, x2+y2, cu x = -1,5 și y = 1:
    Imaginea intitulată 217503 7b
  • (-1.5)2 = 2, .25
  • 12 = 1
  • 2.25 + 1 = 3.25, mai puțin de 4, deci rădăcina pătrată este mai mică de 2.
  • Apoi continuați cu al doilea pas, calculând z2+c prin comanda rapidă (x2-y2, 2xy) pentru z2 (vedeți Sfaturile pentru a înțelege de unde derivă această scurtătură), din nou cu x = -1,5 și y = 1:
    Imaginea intitulată 217503 7c
  • (-1.5)2 - 12 devine 2.25 -1, care devine 1.25-
  • 2xy, deoarece x este -1,5 și y este 1, devine 2 (-1,5), deci "-3,0";
  • Acest lucru ne dă un z2 de (1,25, -3)
  • Acum adăugați c pentru această casetă (suma x la x, y până la y), obținând (-0,25, -2)
  • Acum, să verificăm dacă valoarea absolută este mai mare decât 2. Calculați x2 + y2:
    Imaginea intitulată 217503 7d
  • (-0.25)2 = 0,0625
  • -22 = 4
  • 0.0625 + 4 = 4.0625, a cărui rădăcină pătrată este mai mare de 2, așa că a scăpat după a doua iterație: primul nostru verde!
  • Când sunteți familiarizați cu calculele, uneori veți putea să recunoașteți ce cifre fug din setul Mandelbrot dintr-o privire. În acest exemplu, elementul y are o magnitudine de 2, care, după ce a fost pătrat și adăugate la celălalt număr pătrat, va fi mai mare decât 4. Orice număr mai mare de 4 va avea o rădăcină pătrată mai mare de 2. A se vedea sfaturile de mai jos pentru o explicație mai detaliată.
  • Cel de-al treilea element, cu c care are valoarea lui (-1,1), nu fuge în primul pas: deoarece atât 1, cât și -1, ridicate la pătrat, sunt întotdeauna 1, x2+y2 este 2. Apoi calculăm z2+c, urmând comanda rapidă (x2-y2, 2xy) pentru z2:
    Imaginea intitulată 217503 7e
  • (-1)2-12 devine 1-1, care este 0;
  • Prin urmare, 2xy este 2 (-1) = -2;
  • z2 = (0, -2)
  • adăugând c obținem (0, -2) + (-1,1) = (-1, -1)
  • Aceasta este întotdeauna aceeași valoare absolută ca înainte (rădăcina pătrată de 2, aproximativ 1,41) - continuând cu a treia iterație:
    Imaginea intitulată 217503 7f
  • ([-1]2) - ([- 1]2) devine 1-1, care este 0 (din nou) ...
  • dar acum 2xy este 2 (-1) (- 1), care este 2 pozitiv, care dă z2 valoarea lui (0,2).
  • adăugând c obținem (0.2) + (-1.1) = (-1.3), care are un a2 + b2 de 10, mult mai mare decât 4.
  • Prin urmare, acest număr, de asemenea, fuge. Culorati caseta cu cea de-a treia culoare, albastra si, din moment ce am terminat trei iteratii cu acest punct, mergeti la urmatorul.
    Imaginea intitulată 217503 7g
  • Limitarea noastră doar la utilizarea a trei culori devine în mod clar o problemă aici, deoarece ceva care fuge după doar trei iterații este colorat ca (0,0), care nu fuge vreodată- evident, la acest nivel de detaliu, nu vom vedea niciodată nimic apropiat "bug-uri" din Mandelbrot.
  • Imaginea intitulată 217503 8
    8
    Continuați să calculați fiecare cutie până când a scăpat sau nu ați atins numărul maxim de iterații (numărul de culori pe care îl utilizați: trei, în acest exemplu), nivelul la care îl veți colora. Iată cum apare matricea de la 9 la 9 după trei iterații în fiecare pătrat ... Se pare că descoperim ceva!
  • 9
    Repetați aceeași matrice cu alte culori (iterații) pentru a arăta următoarele nivele sau, mai bine, trageți o matrice mult mai mare pentru un proiect pe termen mai lung! Puteți obține imagini mai exacte:

  • Imaginea intitulată Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533
    Cresterea numarului de cutii - aceasta are 81 pentru fiecare parte. Observați asemănarea cu matricea 9 prin 9 în partea superioară, dar și marginile mai rotunjite ale cercului și ale ovalului.
  • Imaginea intitulată Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797
    Creșterea numărului de culori (iterații) - aceasta are 256 nuanțe de roșu, verde și albastru, pentru un total de 768 de culori în loc de 3. Rețineți că în acest caz puteți vedea linia binecunoscutului "lac" (sau "bug-uri", depinde de modul în care îl consideri) de Mandelbrot. Dezavantajul este perioada de timp necesară - dacă puteți calcula fiecare iterație în 10 secunde, va dura aproximativ două ore pentru fiecare cutie din sau în apropierea lacului Mandelbrot. Deși este o parte relativ mică din matricea 81 pentru 81, ar dura probabil un an până la finalizare, chiar dacă vom lucra mai multe ore pe zi. Iată în cazul în care computerele de siliciu devin utile.

    • Sfaturi

    • Pentru că z2 = (x2-y2, 2xy)?

    • la multiplica două numere complexe precum (a, b) cu (c, d), utilizați următoarea formulă, explicată în acest document Articol din Mathworld: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad)
    • Amintiți-vă că un număr complex este alcătuit dintr-o parte "real" și de la unul "imaginar"- ultimul este un număr real înmulțit cu rădăcina pătrată de 1 negativ, adesea numit . De exemplu, numărul complex (0,0) este 0 + 0i și (-1, -1) este (-1) + (-1 * i).
    • Încă ne mai urmărești? Amintiți-vă că termenii la și c acestea sunt drepturi de autor, în timp ce b și d acestea sunt imaginar. Prin urmare, atunci când termenii imaginari se înmulțesc, rădăcina pătrată a negativului 1 înmulțită de ea însăși dă 1 negativă, anulând rezultatul și făcând-o negativă. real- dimpotrivă, numerele la și bc ele rămân imaginare, deoarece rădăcina pătrată a negativului 1 este încă un termen al unor astfel de produse. În consecință, ele constituie partea real, în timp ce bc + la asta imaginar.
    • Din moment ce crestem numerele pătrat în loc să înmulțim două diferite, putem simplifica puțin - din moment ce a = c și b = d, avem ca produs (a2-b2, 2ab). Și, din moment ce asociază "planul complex" o "Carteziene", cu axa x care reprezintă "real" și axa y care reprezintă"imaginar", o vom descrie și ca (x2-y2, 2xy).
    • Dacă ești calculată în mod repetat o casetă și îți dai seama că un rezultat se potrivește exact cu unul pe care l-ai obținut deja pentru aceeași cutie, știi că ai intrat într-un cerc infinit - acea cutie nu va fugi niciodată! Apoi puteți să faceți o comandă rapidă, să culcați cutia cu culoarea finală și să treceți la următoarea - (0,0) este, desigur, una dintre aceste cutii.
    • Doriți să aflați mai multe despre determinarea valorii absolute a unui număr complex fără a se lupta cu calculele?

    • Valoarea absolută a unui număr complex (a, b) este rădăcina pătrată a a2 + b2, la fel ca și formula triunghiului dreptunghiular, deoarece la și b ele sunt reprezentate pe grila carteziană (coordonatele x și y, respectiv) în unghi drept unul altuia. În consecință, deoarece știm că mulțimea Mandelbrot este limitată la valoarea de 2 și că pătratul de 2 este de 4, putem evita să ne gândim la rădăcinile pătrate pur și simplu prin a vedea dacă x2+y2 >= 4.
    • Dacă unul dintre catetele lui a triunghi dreptunghiul este în lungime >= 2, atunci și hypotenuse (partea diagonală) trebuie să fie mai lungă de 2. Dacă nu înțelegeți de ce, trageți niște triunghiuri dreptunghiulare pe o latură carteziană și va deveni evidentă - sau arătați-o în felul acesta: 22= 4 și, dacă adăugăm un alt număr pozitiv la acest lucru (ridicarea unui număr negativ pe pătrat dă întotdeauna un număr pozitiv), nu putem obține ceva care este mai puțin decât 4. Astfel, dacă componenta x sau y a unui număr complex este egală sau mai mare de 2, valoarea absolută a acestui număr este egală sau mai mare de 2 și a scăpat din setul Mandelbrot.
    • Pentru a calcula "lățimea virtuală" din fiecare cutie, împărțiți "diametrul virtual" pentru "numărul de cutii minus unul". În exemplele de mai sus, folosim un diametru virtual de 4, pentru că vrem să arătăm totul în raza de 2 (setul Mandelbrot este limitat de valoarea 2). Pentru apropierea părții 3, aceasta coincide cu 4 / (3-1), care este 4/2, care la rândul său corespunde 2. Pentru partea 9 pătrat, este 4 / (9-1), care este 4/8, care la rândul său corespunde cu "0.5". Utilizați aceeași dimensiune virtuală a casetei pentru înălțime și lățime, chiar dacă faceți o parte mai lungă decât cealaltă - altfel întregul va fi deformat.

    Avertismente

    • Matematica poate fi dependenta, ca orice altceva, dar probabil ca nu va afecta ficatul sau nu provoaca cancer pulmonar.
    Afișați mai multe ... (4)

    Mai mult wikiHow

    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit